Question

13．如圖所示，AB為半徑R=0.8m的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，下端B恰與小車右端平滑對(duì)接．小車質(zhì)量M=3kg，車長(zhǎng)L=2.06m，車上表而距地而的高度h=0.2m．現(xiàn)有一質(zhì)量m=lkg的滑塊，由軌道頂端無(wú)初速度釋放，滑到B端后沖上小車．已知地而光滑，滑塊與小車上表而間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，當(dāng)車運(yùn)行了1.5s時(shí)，被地而裝置鎖定（g=l0m/s²）．求：
（1）滑塊到達(dá)B端時(shí)，軌道對(duì)它支持力的大小
（2）車被鎖定時(shí)，車右端距軌道B端的距離
（3）從車開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到被鎖定的過(guò)程中，滑塊與車面間由于摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能大小
（4）滑塊落地點(diǎn)離車左端的水平距離．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒定律求出滑塊滑到B端時(shí)的速度，由牛頓第二定律求出軌道對(duì)它的支持力．
（2）滑塊沖上小車后，滑塊向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，小車向左做勻加速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律分別求出滑塊和小車的加速度，由運(yùn)動(dòng)式求出兩者速度相同經(jīng)過(guò)的時(shí)間，確定兩者的運(yùn)動(dòng)情況．再求解車右端距軌道B端的距離．
（3）求出滑塊相對(duì)于小車的位移△x，由內(nèi)能E=μmg△x求出內(nèi)能．
（4）滑塊滑出小車后做平拋運(yùn)動(dòng)，求出滑塊滑到A端的速度和平拋的時(shí)間，求解滑塊落地點(diǎn)離車左端的水平距離．

解答 解：（1）設(shè)滑塊到達(dá)B端時(shí)速度為v，由機(jī)械能守恒定律，得：
   mgR=$\frac{1}{2}$mv²；
得 v=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
 由牛頓第二定律，得：F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立代入數(shù)值解得：F_N=3mg=30N．
（2）當(dāng)滑塊滑上小車后，由牛頓第二定律，得
對(duì)滑塊有：-μmg=ma₁
對(duì)小車有：μmg=Ma₂
設(shè)經(jīng)時(shí)間t兩者達(dá)到共同速度，則有：v+a₁t=a₂t
解得：t=1 s．                                                         
由于t=1s＜1.5 s，此時(shí)小車還未被鎖定，兩者的共同速度：v′=a₂t=1 m/s，兩者一起勻速運(yùn)動(dòng)，直到小車被鎖定．     
故車被鎖定時(shí)，車右端距軌道B端的距離：
   x=$\frac{1}{2}$a₂t²+v′t′，
代入數(shù)據(jù)解得：x=1 m．
（3）從車開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到被鎖定的過(guò)程中，滑塊相對(duì)小車滑動(dòng)的距離為：
△x=$\frac{v+v′}{2}$t-$\frac{1}{2}$a₂t²
代入數(shù)據(jù)解得△x=2m                                            
故產(chǎn)生的內(nèi)能：E=μmg△x=0.3×10×2J=6 J．
（4）對(duì)滑塊由動(dòng)能定理，得：-μmg（L-△x）=$\frac{1}{2}$mv″²-$\frac{1}{2}$mv′²；
 滑塊脫離小車后，在豎直方向有：h=$\frac{1}{2}$gt″²；
滑塊落地點(diǎn)離車左端的水平距離：x′=v″t″
代入數(shù)據(jù)解得，x′=0.16 m．
答：
（1）滑塊到達(dá)B端時(shí)，軌道對(duì)它支持力的大小為30N．
（2）車被鎖定時(shí)，車右端距軌道B端的距離為1m．
（3）從車開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到被鎖定的過(guò)程中，滑塊與車面間由于摩擦而產(chǎn)生的內(nèi)能大小為6J．
（4）滑塊落地點(diǎn)離車左端的水平距離為0.16m．

點(diǎn)評(píng) 本題之處在于分析滑塊和小車速度相同所經(jīng)歷的時(shí)間，與1.5s進(jìn)行比較來(lái)分析兩者的運(yùn)動(dòng)情況．求摩擦生熱Q=f△x，△x是相對(duì)位移．本題也可以根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出共同速度，再由能量守恒定律求產(chǎn)生的內(nèi)能．