Question

如圖所示，豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道由斜面部分AB和圓弧部分BC平滑連接，且圓弧軌道半徑為R，整個(gè)軌道處于水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中．一個(gè)帶正電的小球（視為質(zhì)點(diǎn)）從斜軌道上某一高度處由靜止釋放，沿軌道滑下（小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)無(wú)動(dòng)能損失），已知小球的質(zhì)量為m，電量為q，電場(chǎng)強(qiáng)度E=

mg

q

，求：
（1）小球到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)C時(shí)速度的最小值？
（2）小球到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)C速度最小值時(shí)，在斜面上釋放小球的位置距離地面有多高？（結(jié)論可以用分?jǐn)?shù)表示）

Answer 1

分析：（1）小球恰好能沿圓軌道做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)C點(diǎn)的速度最小，等效“最高點(diǎn)”是電場(chǎng)力和重力的合力指向圓心的點(diǎn)，臨界狀態(tài)是由電場(chǎng)力和重力的合力給物體提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出在該點(diǎn)的最小速度．小球從等效最高點(diǎn)到C點(diǎn)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求解小球到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)C時(shí)速度的最小值．
（2）對(duì)小球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理求解．

解答：解：（1）由于物體在重力場(chǎng)和電場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中，受到電場(chǎng)力和重力的作用，所以在圓弧BC上有一個(gè)等效最高點(diǎn)D（如圖所示），若電場(chǎng)力和重力的合力給物體提供做圓周運(yùn)動(dòng)的合外力，則物體在D點(diǎn)有最小速度．
小球所受的電場(chǎng)力 Eq=

mg

q

q=mg，
則合力為 F_合=

2

mg       
在D點(diǎn)，由合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的合向心力時(shí)，小球在D點(diǎn)有最小速度．
則得：F_合=m

v2

R

，

2

mg=m

v 2 D

R

，
解得，D點(diǎn)速度的最小值 v_D=

2 gR

物體由D點(diǎn)到C點(diǎn)，動(dòng)能定理：
  W_總=△E_k，
即 EqRsin45°-mgR（1-cos45°）=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 D

        
  mgR

2

2

-mgR+mgR

2

2

=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

2

gR
解得，C點(diǎn)速度最小值 v_C=

(3 2 -2)gR

（2）對(duì)整個(gè)過(guò)程，由動(dòng)能定理可知：W_總=△E_k，
 即得：mg（h-2R）-Eq

h

tan60°

=

1

2

m

v

2 C

-0
       mg（h-2R）-mg

h

3

=

1

2

m(3

2

-2)gR
解得，h=

3 2 2 +1

1- 3 3

R
答：
（1）小球到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)C時(shí)速度的最小值為

(3 2 -2)gR

．
（2）小球到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)C速度最小值時(shí)，在斜面上釋放小球的位置距離地面高度為

3 2 2 +1

1- 3 3

R．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是確定物理最高點(diǎn)D，知道臨界狀態(tài)是：D點(diǎn)由合力充當(dāng)向心力．運(yùn)用動(dòng)能定理時(shí)，要注意明確研究的過(guò)程，然后求解．