Question

11．如圖是中國(guó)月球探測(cè)工程形象標(biāo)志，它以中國(guó)書(shū)法的筆觸，抽象地勾勒出一輪明月，一雙腳印踏在其上，象征著月球探測(cè)的終極夢(mèng)想．若現(xiàn)在發(fā)射一顆繞月球表面飛行的衛(wèi)星，測(cè)得其繞行的周期為T(mén)，線速度為v，萬(wàn)有引力常量G為已知條件．求：
（1）月球的質(zhì)量與密度；
（2）若在月球表面以初速度v₀豎直上拋一個(gè)物體，物體上升的最大高度是多少？

Answer 1

分析 （1）在發(fā)射一顆繞月球表面飛行的衛(wèi)星，衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式分析即可；
（2）由于是衛(wèi)星的重力提供向心力，故月球表面重力加速度等于衛(wèi)星的向心加速度，求解出重力加速度后后根據(jù)速度位移公式列式求解物體上升的最大高度．

解答 解：（1）衛(wèi)星受到的萬(wàn)有引力提供向心力，故：
$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$
其中：$T=\frac{2πr}{v}$
解得：M=$\frac{{{v^3}T}}{2πG}$
月球的密度：ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$；
（2）月球表面重力加速度等于衛(wèi)星的向心加速度，故：g=vω=$\frac{2πv}{T}$；
對(duì)豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度位移公式，有：v²=2gh，
解得：h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{vT}{4π}$；
答：（1）月球的質(zhì)量為$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$，密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$；
（2）若在月球表面以初速度v0豎直上拋一個(gè)物體，物體上升的最大高度是$\frac{vT}{4π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是萬(wàn)有引力定律的運(yùn)用問(wèn)題，關(guān)鍵是明確衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)來(lái)源，造成向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式，注意月球表面的重力加速度與地球表面的重力加速度不等．