Question

（25分）圖中oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐標(biāo)系，在的一側(cè)，存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于oxy平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。在的一側(cè)，一邊長(zhǎng)分別為和的剛性矩形超導(dǎo)線框位于桌面上，框內(nèi)無(wú)電流，框的一對(duì)邊與x軸平行。線框的質(zhì)量為m，自感為L(zhǎng)�，F(xiàn)讓超導(dǎo)線框沿x軸方向以初速度進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，試定量地討論線框以后可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)情況及與初速度大小的關(guān)系。（假定線框在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持超導(dǎo)狀態(tài)）

　

Answer 1

參考解答：

設(shè)某一時(shí)刻線框在磁場(chǎng)區(qū)域的深度為x，速度為，因線框的一條邊切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為，它在線框中引起感應(yīng)電流，感應(yīng)電流的變化又引起自感電動(dòng)勢(shì)．設(shè)線框的電動(dòng)勢(shì)和電流的正方向均為順時(shí)針?lè)较�，則切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)與設(shè)定的正方向相反，自感電動(dòng)勢(shì)與設(shè)定的正方向相同.因線框處于超導(dǎo)狀態(tài)，電阻，故有

                                                                 （1）

即

                                      （2）

或

               （3）

即

                                          （4）

可見(jiàn)與x成線性關(guān)系，有

                                        （5）

C為一待定常數(shù)，注意到時(shí)，，可得，故有

                                           （6）

時(shí)，電流為負(fù)值表示線框中電流的方向與設(shè)定的正方向相反，即在線框進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)右側(cè)邊的電流實(shí)際流向是向上的．外磁場(chǎng)作用于線框的安培力

                                   （7）

其大小與線框位移x成正比，方向與位移x相反，具有“彈性力”的性質(zhì)．下面分兩種情形做進(jìn)一步分析：

（i）線框的初速度較小，在安培力的作用下，當(dāng)它的速度減為0時(shí)，整個(gè)線框未全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，這時(shí)在安培力的繼續(xù)作用下，線框?qū)⒎聪蜻\(yùn)動(dòng)，最后退出磁場(chǎng)區(qū)．線框一進(jìn)一出的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的半個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)的圓頻率

               （8）  

周期

               （9）

振動(dòng)的振幅可由能量關(guān)系求得，令表示線框速度減為0時(shí)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)的深度，這時(shí)線框的初始動(dòng)能全部轉(zhuǎn)換為“彈性力”的“彈性勢(shì)能”，由能量守恒可得

               （10）

得

               （11）

故其運(yùn)動(dòng)方程為

       ，  t從0到        （12）

半個(gè)周期后，線框退出磁場(chǎng)區(qū)，將以速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．因?yàn)樵谶@種情況下的最大值是，即

               （13）

由此可知，發(fā)生第（i）種情況時(shí)，的值要滿足下式

               

即                （14）

 (ii) 若線框的初速度比較大，整個(gè)線框能全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)．當(dāng)線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)時(shí)，其速度仍大于0，這要求滿足下式

               （15）

       當(dāng)線框的初速度滿足（15）式時(shí)，線框能全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，在全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域以前，線框的運(yùn)動(dòng)方程與（12）式相同，但位移區(qū)間是到，所以時(shí)間間隔與（12）式不同，而是從0到

                （16）                     

因?yàn)榫�框的總電動(dòng)勢(shì)總是為0，所以一旦線框全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，線框的兩條邊都切割磁感應(yīng)線，所產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)之和為 0，因而自感電動(dòng)勢(shì)也為0．此后線框中維持有最大的電流，磁場(chǎng)對(duì)線框兩條邊的安培力的合力等于零，線框?qū)⒃诖艌?chǎng)區(qū)域勻速前進(jìn)，運(yùn)動(dòng)的速度可由下式?jīng)Q定

       

即

               （17）