Question

【題目】如圖甲所示，一輕質彈簧左端固定在墻壁上，右端與置于水平面上的質量為m的小滑塊相連。在以下的討論中小滑塊可視為質點，彈簧始終在彈性限度內，取彈簧原長時彈性勢能為0，且空氣阻力可忽略不計。

（1）若水平面光滑，以彈簧原長時小滑塊的位置O為坐標原點，建立水平向右的坐標軸Ox，如圖甲所示。

①已知彈簧的勁度系數(shù)為k，請寫出彈簧彈力F與小滑塊所在位置坐標x的關系式，并借助F-x 圖像確定出將小滑塊由O點緩慢拉到位置坐標x的過程中，彈簧彈力所做的功。

②小滑塊在某輕質彈簧的作用下，沿光滑水平面在O點附近做往復運動，若從小物塊向右運動通過O點時開始計時，請在圖乙中定性畫出小物塊所受彈力F隨時間t變化的關系圖像；

若測得該彈簧的彈性勢能Ep與其位置坐標x的關系曲線如圖丙所示，其中Ep0和x0皆為已知量，請根據(jù)圖丙中Ep-x圖像提供的信息求解本題中彈簧的勁度系數(shù)k′。

（2）若水平面不光滑，小滑塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ。如圖丁所示，彈簧的勁度系數(shù)為k，O為彈簧原長位置，以距O點右側 的O′為坐標原點，向右為正方向建立坐標軸O′x′。將小滑塊沿水平面向右拉到O′右側的P點，由靜止釋放小滑塊，小滑塊可以在水平面上往復運動并最終停下。已知重力加速度為g，并可認為滑動摩擦力與最大靜摩擦力大小相等。

①證明小滑塊被釋放后第一次向左的運動的過程中，其受力特點符合以O′為平衡位置的簡諧運動的受力條件。并分析如果小滑塊在O點最左方停不住，則O到P點距離應滿足什么條件；

② 若小滑塊被釋放后能第2次經(jīng)過O點而不能第3次經(jīng)過O點，試分析說明O′到P點距離又應滿足什么條件。

Answer 1

【答案】(1) ①-kx2 ,②圖見解析 (2) ①l≥,②≤l≤

【解析】

（1）①彈力與x的關系：

F=-kx

因為F-x圖像是過原點的直線，則彈簧彈力所做的功

②如圖1所示；

因

則

（2）①

即小滑塊第一次向左運動過程的受力情況與以O′為平衡位置的簡諧運動的受力相同。

對于小滑塊由P點出發(fā)向左運動的過程，假設其在最左端時，其距O點的距離為l1，由功能關系得：

即：

解得：

若小滑塊速度為零而停不住，則應有：

kl1＞μmg

將l1代入得：

②設小滑塊速度為零時距O點的距離為l2，對其由O點左側最大位移處向右運動至速度減為零的過程，由功能關系得：

解得：

若小滑塊到達O點時速度為零，則l2=0，則

滑塊能第二次經(jīng)過O點時滿足條件是

同理，小滑塊在O點右側速度為零時距O點的距離為l3，對其由O點右側最大位移處向左運動至速度減為零的過程，滿足

則若小滑塊到達O點時速度為零，則32=0，則

滑塊不能第三次經(jīng)過O點時滿足條件是

O′到P點距離應滿足的條件為

≤l≤。