Question

15．如圖所示，在傾角θ=30°的足夠長(zhǎng)的固定的斜面底端有一質(zhì)量m=1.0kg的物體，物體與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，現(xiàn)用輕細(xì)繩將物體由靜止沿斜面向上拉動(dòng)．拉力F=13N，方向平行斜面向上．經(jīng)時(shí)間t=2.0s繩子突然斷了，求：（g=10m/s²）
（1）繩斷時(shí)物體的速度大�。�
（2）物體沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大距離．
（3）繩子斷后物體在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）分析繩斷前物體的受力情況，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由速度公式求解繩斷時(shí)物體的速度大�。�
（2）、（3）繩斷后，物體先沿斜面向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，后沿斜面向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出向上減速過程的加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出時(shí)間和位移．下滑過程的位移大小等于上滑過程總位移大小，由牛頓第二定律和位移公式結(jié)合求解下滑的時(shí)間，從而求得總時(shí)間．

解答 解：（1）繩斷前，由牛頓第二定律可得：
    F-mgsinθ-μmgcosθ=ma₁
解得：a₁=5m/s²
可得：繩斷時(shí)物體的速度大小  v=a₁t₁=5×2=10m/s．
（2）物體勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移是：
  x₁=$\frac{v}{2}$t₁=$\frac{10}{2}$×2m=10m
撤去F以后向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小是：
  a₂=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}$=gsinθ+μgcosθ）=10×（$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=8m/s²，
勻減速直線運(yùn)動(dòng)的位移是：
   x₂=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{1{0}^{2}}{2×8}$=6.25m．
上升的總位移是：x=x₁+x₂=16.25m．
（3）因?yàn)棣蹋紅an30°，故物體上滑的速度減至零后將沿斜面勻加速下滑，加速度為
  a₃=$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}$=g（sin30°-μcos30°）=10×（$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=2m/s²，
繩斷后物體勻減速上升時(shí)間為：
  t₂=$\frac{v}{{a}_{2}}$=$\frac{10}{8}$=1.25s，
勻加速下降時(shí)間設(shè)為 t₃，則有
   x=$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{3}^{2}$
解得   t₃=$\sqrt{16.25}$≈4.03s
故繩子斷后物體在斜面上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：
   t=t₂+t₃≈5.28s．
答：
（1）繩斷時(shí)物體的速度大小是10m/s．
（2）物體沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大距離為16.25m；
（3）繩子斷后物體在斜面上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為5.28s．

點(diǎn)評(píng) 本題是有往復(fù)的動(dòng)力學(xué)問題，運(yùn)用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合是解題的基本方法，加速度是關(guān)鍵量．