Question

如圖所示，在xoy坐標(biāo)系第一象限內(nèi)有一個(gè)與x軸相切于Q點(diǎn)的有理想邊界圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外，一帶電粒子（不計(jì)重力）質(zhì)量為m，帶電荷量為+q，以初速度v₀從P點(diǎn)進(jìn)入第一象限，已知θ=30°．經(jīng)過(guò)該圓形有界磁場(chǎng)時(shí)．速度方向改變了α=60°，并從x軸上的Q點(diǎn)射出．試求：
（1）該圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R；
（2）該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．
（3）使帶電粒子不能穿過(guò)x軸時(shí)圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑r．

Answer 1

分析：（1）可以通過(guò)幾何關(guān)系求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和軌跡圓半徑的關(guān)系，再根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式即可求解；
（2）可先求圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角，根據(jù)圓心角和周期之間的關(guān)系及周期公式求解；
（3）帶電粒子不能穿過(guò)x軸時(shí)圓形磁場(chǎng)區(qū)域，跟x軸相切時(shí)半徑最小，根據(jù)幾何關(guān)系及圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式即可求解．

解答：解：（1）如下圖所示：

設(shè)粒子從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)，連QA得弦，因速度偏轉(zhuǎn)角為60°，那么弦切角就為30°，可知弦QA平行于y軸，又因?yàn)榇艌?chǎng)區(qū)域圓在Q點(diǎn)與x軸相切，因此，AQ也是區(qū)域圓的直徑；而粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為α=60°，可知△AO'Q為等邊三角形，有：2R=r（r為軌跡圓半徑）
又因?yàn)?span id="54itnb0" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">r=

mv0

Bq

所以圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為R=

mv0

2qB

．
（2）T=

2πm

Bq

圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角α=60°  
t=

α

2π

T=

T

6

=

πm

3Bq

．
（3）因?yàn)榈谝恍☆}中已求得：
    r=

mv0

Bq

  如下圖所示：

R=rcosa=rcos30°
R=

3

2

r=

3 mv0

2Bq

．
答：（1）該圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為R=

mv0

2qB

；
    （2）該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

πm

3Bq

；
    （3）使帶電粒子不能穿過(guò)x軸時(shí)圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑為

3 mv0

2Bq

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑及周期公式的應(yīng)用，難度較大．