Question

3．如圖所示，細繩一端系一質量為m的小球，一端懸掛在O點，繩長為l；小球靜止在最低點A處，現通過瞬時作用使小球獲得一水平向右的初速度v，問初速度v滿足什么條件，繩始終被拉直？

Answer 1

分析 要保證小球在運動過程中繩子始終不松弛，小球應做完整的圓周運動或在圓心下方運動．小球恰好能通過最高點時，向心力等于小球的重力，由此列式求最高點的最小值；恰好到達與圓心O等高位置時速度為零，再由機械能守恒定律求v₀滿足的條件．

解答 解：小球在運動過程中繩子始終不松弛，有兩種情況：
第一情況：小球做完整的圓周運動，設小球通過最高點的最小速度為v．
則有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
從最低點到最高點的過程，由機械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$=2mgL+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯立解得  v₀=$\sqrt{5gL}$=$\sqrt{10}$m/s
所以，要使小球做完整的圓周運動，必須滿足的條件是：v₀≥$\sqrt{10}$m/s．
第二情況：小球在圓心下方運動，上升的最高點與圓心O等高，則由機械能守恒定律有
  $\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$=mgL，解得 v₀=$\sqrt{gL}$=$\sqrt{2}$m/s
在這種情況下，繩子始終不松弛，v₀滿足的條件是：0＜v₀≤$\sqrt{2}$m/s．
綜上，v₀滿足的條件是：v₀≥$\sqrt{10}$m/s或0＜v₀≤$\sqrt{2}$m/s．
答：初速度v滿足v₀≥$\sqrt{10}$m/s或0＜v₀≤$\sqrt{2}$m/s時繩始終被拉直

點評 解決本題的關鍵要掌握圓周運動的臨界條件：在最高點時，最小向心力等于重力．繩子剛松馳時，繩子的拉力為零，由重力指向圓心的分力提供向心力．要熟練應用向心力公式、機械能守恒定律即可正確解題．