Question

如圖所示，AB為固定在豎直平面內粗糙傾斜軌道，BC為光滑水平軌道，CD為固定在豎直平面內的光滑圓弧軌道，且AB與BC通過一小段光滑弧形軌道相連，BC與弧CD相切．已知AB長為L=10m，傾角θ=37°，BC長s=

35

9

m，CD弧的半徑為R=

25

12

m，O為其圓心，∠COD=143°．整個裝置處在水平向左的勻強電場中，電場強度大小為E=1×10³N/C．一質量為m=0.4kg、電荷量為q=+3×10 ^-3C的物體從A點以初速度v_A=15m/s沿AB軌道開始運動．若物體與軌道AB間的動摩擦因數(shù)為μ=0.2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，物體運動過程中電荷量不變．求
（1）物體在AB軌道上運動時，重力和電場力對物體所做的總功；
（2）物體能否到達D點；
（3）物體離開CD軌道后運動的最高點相對于O點的水平距離x和豎直距離y．

Answer 1

分析：（1）勻強電場方向水平向左，物體所受的電場力水平向左，與重力和合力大小為F=

(mg)2+(qE)2

，求出合力與豎直方向的夾角α，tanα=

qE

F

，再求解重力和電場力對物體所做的總功；
（2）設物體能到D點，對物體由A到D的過程，由動能定理求出物體到達D點的速度，與臨界速度

gR

比較，分析能否到達D點；
（3）物體剛要離開軌道時軌道對物體的彈力為零，由牛頓第二定律根據(jù)動能定理研究A到D的過程，求出物體經(jīng)過D點的速度．物體離開軌道時做斜上拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做豎直上拋運動，由位移公式求出最高點相對于O點的水平距離x和豎直距離y．

解答：解：（1）物體所受重力和電場力的合力大小為
  F=

(mg)2+(qE)2

=5N，
設合力與豎直方向的夾角為α，則tanα=

qE

F

=

3

5

，
解得，α=37°，
由幾何知識得知，重力和電場力的合力與斜面AB垂直，所以物體在軌道AB上運動時重力和電場力對物體做的總功為W=0．
（2）D點為CD軌道上的等效最高點，設物體能到D點，其速度為v_D
對物體由A到D的過程，由動能定理得
-μFL-qE（s+Rsinα）-mg（R+Rcosα）=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 A

設物體剛能到D點時速度為v₀
由牛頓第二定律得
   F=m

v 2 0

R

解得v₀＞v_D
因此物體不能到達D點．
（3）物體剛要離開軌道時軌道對物體的彈力為零，設此時物體位置與O點連線與豎直方向的夾角為β，物體的速度為v
由牛頓第二定律得
   mgcosβ+qEsinβ=m

v2

R

-μFL-qE（s+Rsinβ）-mg（R+Rcosβ）=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 A

解得，v=5m/s，sinβ=0.8
物體離開軌道時做斜上拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做豎直上拋運動，設物體到達最高點的時間為t，
則有
  vsinβ=gt，得t=0.4s
物體運動的最高點相對于O點的水平距離x=vcosβt+

1

2

qE

m

t2-Rsinβ=

2

15

m
和豎直距離y=

1

2

vsinβt+Rcosβ=2.05m
答：
（1）物體在AB軌道上運動時，重力和電場力對物體所做的總功是0；
（2）物體不能到達D點；
（3）物體離開CD軌道后運動的最高點相對于O點的水平距離x是

2

15

m，豎直距離y是2.05m．

點評：本題運用牛頓第二定律和運動學公式結合研究帶電體在電場力和重力場的復合場中運動問題，難點是確定物體離開軌道的位置，抓住此時軌道的彈力為零，由牛頓第二定律研究．