Question

18．如圖所示，半徑為$\frac{l}{4}$、質(zhì)量為m的小球用兩根不可伸長(zhǎng)的輕繩a、b連接（繩子的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)球心 ），兩輕繩的另一端系在一根豎直桿的A、B兩點(diǎn)上，A、B兩點(diǎn)相距為l，當(dāng)兩輕繩伸直后，A、B兩點(diǎn)到球心的距離均為l．當(dāng)豎直桿以自己為軸轉(zhuǎn)動(dòng)并達(dá)到穩(wěn)定時(shí)（輕繩a、b與桿在同一豎直平面內(nèi)）．求：
（1）豎直桿角速度ω為多大時(shí)，小球恰好離開豎直桿？
（2）當(dāng)豎直桿角速度ω=2$\sqrt{\frac{g}{l}}$時(shí)，輕繩a的張力F_a為多大？

Answer 1

分析 （1）小球恰離開豎直桿時(shí)，受重力和拉力，拉力的豎直分力與重力平衡，水平分力提供向心力；
（2）由向心力公式可明確此時(shí)繩是否張緊，再根據(jù)向心力公式列式即可明確此時(shí)繩a的拉力．

解答 （1）小球恰好離開豎直桿時(shí)，小球與豎直桿間的作用力為零，設(shè)此時(shí)輕繩a與豎直桿間的夾角為α，由題意可知
sinα=$\frac{1}{4}$，r=$\frac{l}{4}$
沿半徑：F_asin α=mω²r
垂直半徑：F_acos α=mg
聯(lián)立解得ω=2$\sqrt{\frac{g}{15l}}$．
（2）若角速度ω再增大，小球?qū)㈦x開豎直桿，在輕繩b恰伸直前，設(shè)輕繩a與豎直桿的夾角為β，此時(shí)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=lsin β
沿半徑：F_asin β=mω²r，
垂直半徑：F_acos β=mg
聯(lián)立解得F_a=mω²l
當(dāng)輕繩b恰伸直時(shí)，β=60°，此時(shí)ω=$\sqrt{\frac{2g}{l}}$
由于ω=2$\sqrt{\frac{g}{l}}$＞$\sqrt{\frac{2g}{l}}$
故輕繩b已拉直，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=lsin 60°
沿半徑：F_asin 60°+F_bsin 60°=mω²r
垂直半徑：F_acos 60°=F_bcos 60°+mg
聯(lián)立解得F_a=$\frac{1}{2}$mlω²+mg，代入數(shù)據(jù)解得：F_a=3mg
答：（1）豎直桿角速度ω為2$\sqrt{\frac{g}{15l}}$時(shí)，小球恰好離開豎直桿？
（2）當(dāng)豎直桿角速度ω=2$\sqrt{\frac{g}{l}}$時(shí)，輕繩a的張力F_a為3mg．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確明確小球合力的水平分力提供向心力，豎直分力平衡；要注意第二問(wèn)在解題時(shí)一定要先判斷繩b的狀態(tài)才能準(zhǔn)確求解．