Question

如圖所示，一個(gè)內(nèi)軌光滑外軌粗糙的圓形軌道豎直放置，圓心處有一個(gè)帶正電的點(diǎn)電荷（內(nèi)外軌相距很近，半徑均可視為R），在軌道最低點(diǎn)放一個(gè)帶負(fù)電的小球，質(zhì)量為m，直徑略小于內(nèi)外軌的距離，現(xiàn)給小球一個(gè)水平初速度v0=

2gR

，經(jīng)過一段時(shí)間后，小球在P、Q之間來回往復(fù)運(yùn)動(dòng)不止，OP、OQ與豎直方向的夾角為θ=37°．（cos37°=0.8，sin37°=0.6）試求：
（1）小球能否通過最高點(diǎn)？
（2）小球與圓心點(diǎn)電荷的庫侖力；
（3）整個(gè)過程中小球在最低點(diǎn)對(duì)外軌的最大壓力；
（4）整個(gè)過程中小球克服摩擦所做的功W_f和庫侖力所做的功W_k．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒條件判定是否守恒，再由守恒定律即可求解；
（2）由題意可知：小球在P、Q之間來回往復(fù)運(yùn)動(dòng)不止，則當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，恰好由庫侖力與重力提供向心力，從而根據(jù)牛頓第二定律可求出庫侖力的大��；
（3）整個(gè)過程中小球在最低點(diǎn)速度最大時(shí)，則球?qū)ν廛壍膲毫ψ畲螅�因此根�?jù)牛頓第二定律可確定軌道對(duì)球的支持力，再由牛頓第三定律即可求解；
（4）由于庫侖力與速度方向始終垂直，所以庫侖力不做功．因此對(duì)小球整個(gè)過程由動(dòng)能定理則可求出克服摩擦力做功．

解答：解：（1）假設(shè)沒有摩擦力，則過程中機(jī)械能守恒，
因此由機(jī)械能守恒定律可知：

1

2

m(

2gR

)2=mgh
解得：h=R，因此小球不可能到達(dá)最高點(diǎn)；
（2）根據(jù)經(jīng)過一段時(shí)間后，小球在P、Q之間來回往復(fù)運(yùn)動(dòng)不止，則說明不再受到摩擦力作用，
則有當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，恰好由庫侖力與重力提供向心力，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得：mgR(1-cos37°)=

1

2

mv2
解得：v²=0.4gR
再由牛頓第二定律可得：F-mg=m

v2

R

解得：F=1.4mg
（3）整個(gè)過程中小球在最低點(diǎn)速度最大時(shí)，則球?qū)ν廛壍膲毫ψ畲螅?BR>因此根據(jù)牛頓第二定律可得：F+N-mg=m

v 2 0

R

解得：N=1.6mg
（4）由于庫侖力與速度方向始終垂直，所以庫侖力不做功．即W_庫=0
再由動(dòng)能定理對(duì)小球在整個(gè)過程中，則有Wf=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

mv2=0.8mgR
答：（1）小球不能否通過最高點(diǎn)；
（2）小球與圓心點(diǎn)電荷的庫侖力為1.4mg；
（3）整個(gè)過程中小球在最低點(diǎn)對(duì)外軌的最大壓力為1.6mg；
（4）整個(gè)過程中小球克服摩擦所做的功W_f為0.8mgR和庫侖力所做的功W_k為零．

點(diǎn)評(píng)：考查機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理、牛頓第二定律與第三定律及向心力公式，并學(xué)會(huì)緊扣題中關(guān)鍵的語句作為突破點(diǎn)，形成分析問題與解決問題的能力．