Question

如圖所示，兩塊很大的平行導(dǎo)體板MN、PQ產(chǎn)生豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩平行導(dǎo)體板與一半徑為r的單匝線圈連接，在線圈內(nèi)有一方向垂直線圈平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率為△B₁/△t的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁．在兩導(dǎo)體板之間還存在有理想邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)分為Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)區(qū)域，其邊界為MN、ST、PQ，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B₂，方向如圖所示，Ⅰ區(qū)域高度為d₁，Ⅱ區(qū)域的高度為d₂．一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的小球從MN板上方的O點(diǎn)由靜止開始下落，穿過MN板的小孔進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)后，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，Ⅱ區(qū)域的高度d₂足夠大，帶電小球在運(yùn)動(dòng)中不會(huì)與PQ板相碰，重力加速度為g．
（1）求線圈內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率；
（2）若帶電小球運(yùn)動(dòng)后恰能回到O點(diǎn)，求帶電小球釋放時(shí)距MN的高度h；
（3）若帶電小球從距MN的高度為3h的O′點(diǎn)由靜止開始下落，為使帶電小球運(yùn)動(dòng)后仍能回到O′點(diǎn)，在磁場(chǎng)方向不改變的情況下對(duì)兩導(dǎo)體板之間的勻強(qiáng)磁場(chǎng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出兩種方案并定量表示出來．

Answer 1

分析：（1）小球能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有電場(chǎng)力與重力平衡，根據(jù)平衡條件求解出電場(chǎng)強(qiáng)度后，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解線圈內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率；
（2）只有小球從進(jìn)入磁場(chǎng)的位置離開磁場(chǎng)，做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，才能恰好回到O點(diǎn)；結(jié)合對(duì)稱性，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合動(dòng)能定理與牛頓第二定律，即可求解；
（3）由上式高度可知，從而確定磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化值，并依重力與電場(chǎng)力相等，從而確定距離關(guān)系．

解答：解：（1）帶電小球進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)后恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則電場(chǎng)力與重力平衡，得：
qE=mg                                 
根據(jù)公式U=Ed得到：
E=

U

d1+d2

                               
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，有：
U=

△B1

△t

πr2                             
解得：

△B1

△t

=

mg(d1+d2)

qπr2

                               
（2）只有小球從進(jìn)入磁場(chǎng)的位置離開磁場(chǎng)，做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，才能恰好回到O點(diǎn)，由于兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都相等，所以半徑都為R，由圖可知△O₁O₂O₃是等邊三角形．
根據(jù)動(dòng)能定理，有：
mgh=

1

2

mv2             
根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有：
qvB2=m

v2

R

             
三個(gè)圓心的連線構(gòu)成等邊三角形，結(jié)合幾何關(guān)系，有：
R=

2

3

3

d1         
解得：h=

2 d 2 1 q2 B 2 2

3gm2

           
（3）方案1：改變磁感應(yīng)強(qiáng)度
自由落體過程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
mg×3h=

1

2

m

v

2 1

                                
解得：v1=

6gh

=

3

v                            
根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有：
qv1′B2′=m

v 2 1

R

                             
B2′=

3

B2                               
將兩板之間的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度增大為原來的

3

倍．
方案2：改變磁場(chǎng)的寬度：
由h=

2 d 2 1 q2 B 2 2

3gm2

可知，將磁場(chǎng)I區(qū)的寬度增大為原來的

3

倍，即d1′=

3

d1．
磁場(chǎng)II區(qū)的寬度變?yōu)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">d2′=d2-(

3

-1)d1                       
方案3：改變磁場(chǎng)邊界：磁場(chǎng)II區(qū)的磁場(chǎng)邊界下移y的距離．
當(dāng)帶電小球從距MN的高度為3h的O′點(diǎn)由靜止開始下落時(shí)，應(yīng)有
mg×3h=

1

2

m

v

2 1

      
根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有：
qv1B2=m

v 2 1

R

         
由第2問解析，有：
h=

2 d 2 1 q2 B 2 2

3gm2

           
R₁=2d₁                
畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如右圖所示，在中間勻速直線運(yùn)動(dòng)過程中，粒子的速度方向與豎直方向成30°角，根據(jù)幾何關(guān)系，可得
y=

R1cos30°-R1(1-cos30°)

tan30°

      
y=（6-2

3

）d₁     
方案4：同時(shí)改變磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)邊界（上圖中30⁰角改為θ角）
設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度增大k倍．B₂′=kB₂   
則磁場(chǎng)II區(qū)域的上邊界下移y的距離
y=

R1cosθ-R1(1-cosθ)

tanθ

                              
式中：R1=

2d1

k

cosθ=

1-( 1 2 k)2

tanθ=

1

4 k2 -1

             
答：（1）線圈內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率為

mg(d1+d2)

qπr2

；
（2）若帶電小球運(yùn)動(dòng)后恰能回到O點(diǎn)，帶電小球釋放時(shí)距MN的高度h為

2 d 2 1 q2 B 2 2

3gm2

；
（3）方案如上所示．

點(diǎn)評(píng)：考查帶電小球在復(fù)合場(chǎng)中做運(yùn)動(dòng)，結(jié)合受力分析，掌握物理規(guī)律，形成解題思路，提高分析問題的能力．