Question

一宇航員到達半徑為R、密度均勻的某星球表面，做如下實驗：用不可伸長的輕繩拴一質量為m的小球，上端固定在O點，如圖甲所示，在最低點給小球某一初速度，使其繞O點的豎直面內做圓周運動，測得繩的拉力F大小隨時間t的變化規(guī)律如圖乙所示．F₁=7F₂，設R、m、引力常量G以及F₁為已知量，忽略各種阻力，求
（1）該星球表面的重力加速度g．
（2）星球的質量M．

Answer 1

分析：小球在豎直平面內做圓周運動，最高點和最低點都是由線的拉力和重力的合力提供向心力，根據題設條件可以得到星球表面的重力加速度，又在星球表面重力和萬有引力相等，由此列式可求得星球的質量M．

解答：解：（1）小球在豎直平面內做圓周運動，令小球在最低點時的速度v₁，最高點時的速度為v₂，小球做圓周運動的半徑為R則有：
小球從最低點到最高點的過程中機械能守恒有：

1

2

mv₁²=mg2R+

1

2

mv₂²         ①
小球在最低點時繩的拉力F₁和重力提供向心力：F₁-mg=m

v12

R

         ②
小球在最高點時重力和繩的拉力F₂提供向心力：F₂+mg=m

v22

R

       ③
由題意知F₁=7F₂④
聯立①②③④式可解得該星球表面的重力加速度為g=

F1

7m

，
又因為在星球表面重力和萬有引力相等，所以有：
由G

m星m

R2

=mg
又g=

F1

7m

所以可解得星球的質量為

F1R2

7Gm

答：（1）該星球表面的重力加速度g=

F1

7m

．
（2）星球的質量M=

F1R2

7Gm

．

點評：豎直平面內的圓周運動，在最高點和最低點，都是由重力和繩的拉力的合力提供向心力，同時球在圓周運動時，滿足機械能守恒；在星球表面重力和萬有引力提供．