Question

2．如圖所示，半徑為R的半球形陶罐固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合，轉(zhuǎn)臺以一定角速度勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動且相對罐壁靜止，此時小物塊和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度大小為g，若小物塊受到的摩擦力恰好為零，求轉(zhuǎn)臺的角速度ω₀．
（1）小物塊在哪個平面內(nèi)做圓周運(yùn)動？
（2）小物塊做圓周運(yùn)動的半徑與R有什么關(guān)系？
（3）摩擦力的方向與ω的大小之間存在什么關(guān)系？

Answer 1

分析 小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，求出角速度的大��；
（1）結(jié)合受力分析小物塊做勻速圓周運(yùn)動的平面；
（2）通過幾何關(guān)系求出小物塊做圓周運(yùn)動的半徑；
（3）當(dāng)ω＞ω₀時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，當(dāng)角速度最大時，摩擦力方向沿罐壁切線向下達(dá)最大值，根據(jù)牛頓第二定律及平衡條件求解最大角速度，當(dāng)ω＜ω₀時，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向上，當(dāng)角速度最小時，摩擦力向上達(dá)到最大值，根據(jù)牛頓第二定律及平衡條件求解最小值．

解答 解：當(dāng)摩擦力為零，支持力和重力的合力提供向心力，有：$mgtanθ=mRsinθω_0^2$
解得：${ω_0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$
（1）由于小物塊做勻速圓周運(yùn)動，而且小物塊受到的摩擦力等于0，可知，小物塊受到的重力與支持力大小都不變，所以小物塊在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動；
（2）由圖結(jié)合幾何關(guān)系可知，小物塊運(yùn)動的半徑：r=Rsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}R$
（3）當(dāng)ω＞ω₀時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，當(dāng)角速度最大時，摩擦力方向沿罐壁切線向下達(dá)最大值，設(shè)此最大角速度為ω₁，
由牛頓第二定律得，${F_f}cos60°+{F_N}cos30°=mRsin60°ω_1^2$
F_fsin60°+mg=F_Nsin30°
聯(lián)立以上三式解得：${ω_1}=\sqrt{\frac{3g}{R}}$
當(dāng)ω＜ω₀時，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向上，當(dāng)角速度最小時，摩擦力向上達(dá)到最大值，設(shè)此最小角速度為ω₂
由牛頓第二定律得，${F_N}cos30°-{F_f}cos60°=mRsin60°ω_2^2$
mg=F_Nsin30°+F_fsin60°
聯(lián)立三式解得 ${ω_2}=\sqrt{\frac{g}{R}}$，
綜述，陶罐旋轉(zhuǎn)的角速度范圍為$\sqrt{\frac{g}{R}}≤ω≤\sqrt{\frac{3g}{R}}$
答：小物塊受到的摩擦力恰好為零，此時的角速度為$\sqrt{\frac{2g}{R}}$；
（1）小物塊在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動；
（2）小物塊運(yùn)動的半徑等于$\frac{\sqrt{3}}{2}R$；
（3）當(dāng)ω＞$\sqrt{\frac{2g}{R}}$時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下；當(dāng)ω＞$\sqrt{\frac{3g}{R}}$時，小物塊將向上滑動；
當(dāng)ω＜$\sqrt{\frac{2g}{R}}$時，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向上，當(dāng)ω＜$\sqrt{\frac{g}{R}}$時，小物塊將向下滑動．

點評 解決本題的關(guān)鍵搞清物塊做圓周運(yùn)動向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進(jìn)行求解，難度適中．