Question

10．如圖所示，兩個半徑為R的四分之一圓弧構成的光滑細管道ABC豎直放置，且固定在光滑水平面上，圓心連線O₁O₂水平．輕彈簧左端固定在豎直擋板上，右端與質量為m的小球接觸（不拴接，小球的直徑略小于管的內徑），長為R的薄板DE置于水平面上，板的左端D到管道右端C的水平距離為R．開始時彈簧處于鎖定狀態(tài)，具有的彈性勢能為3mgR，其中g為重力加速度．解除鎖定，小球離開彈簧后進入管道，最后從C點拋出．

（1）求小球經(jīng)C點時的動能和小球經(jīng)C點時所受的彈力．
（2）討論彈簧鎖定時彈性勢能滿足什么條件，從C點拋出的小球才能擊中薄板DE．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒定律可以求出小球的動能．小球做圓周運動，經(jīng)過C點時，由牛頓第二定律可以求出彈力大�。�
（2）小球離開C后做平拋運動，由分運動的規(guī)律求出C點的速度范圍，再由能量守恒定律求出彈簧的彈性勢能．

解答 解：（1）從解除彈簧鎖定到小球運動到C點的過程，彈簧和小球系統(tǒng)機械能守恒，則
由機械能守恒定律得：3mgR=2mgR+E_k
解得：小球經(jīng)C點時的動能 E_k=mgR；
小球過C時的動能：E_k=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
設小球經(jīng)過C點時軌道對小球的作用力為F，方向豎直向下．
由牛頓第二定律得：mg+F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F=mg，方向豎直向下；
（2）小球離開C點后做平拋運動，則
豎直方向有：2R=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向：x₁=v_Ct，
若要小球擊中薄板，應滿足：R≤x₁≤2R，
彈簧的彈性勢能：E_P=2mgR+=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得，彈性勢能E_P滿足：$\frac{17}{8}$mgR≤E_p≤$\frac{5}{2}$mgR時，小球才能擊中薄板；
答：
（1）小球經(jīng)C點時的動能為mgR；小球經(jīng)C點時所受的彈力為mg，方向豎直向下；
（2）當彈性勢能E_P滿足：$\frac{17}{8}$mgR≤E_p≤$\frac{5}{2}$mgR時，小球才能擊中薄板DE．

點評 本題關鍵要分析清楚小球的運動過程，明確圓周運動向心力的來源：指向圓心的合力．知道平拋運動的研究方法：運動的分解法，應用機械能守恒定律、牛頓第二定律、平拋運動規(guī)律即可正確解題．