Question

8．如圖所示，兩根平行放置的金屬導軌COD、C′O′D′，導軌OC、O′C′部分粗糙，處在同一水平面內，其空間有方向水平向左、磁場強度B₁=$\frac{25}{8}$T的勻強磁場，導軌OD、O′D′部分光滑足夠長，與水平面成30°，某空間有方向垂直于導軌向上，磁感應強度B₂=1T的勻強磁場．OO′的連線垂直于OC、O′C′，金屬桿M垂直導軌放置在OC段處，金屬桿N垂直導軌放置在OD段上且距離O點足夠遠處，已知導軌間相距d=1m，金屬桿與水平導軌間的動摩擦因數(shù)μ=0.4，兩桿質量均為m=1kg，電阻均為R=0.5Ω．
（1）若金屬桿N由靜止釋放，求其沿導軌OC下滑的最大速度v_m；
（2）若使金屬N在平行導軌的外力F作用下，由靜止開始沿導軌向下加速度a=2m/s²的勻加速運動，求t=2s時的外力F；
（3）在第（2）問中，金屬桿N運動的同時也給金屬桿M向左的初速度v₁=4m/s，求當金屬桿M停止運動時，金屬桿N沿OD下滑的距離s．

Answer 1

分析 （1）金屬桿N由靜止釋放后，由于M桿受到的安培力豎直向下，則其始終保持靜止．當N桿切割磁感線時，產生的感應電流增大、受到的安培力也增大，從而加速度減小到零時，N桿的速度達到最大，由平衡條件、安培力、歐姆定律等可以求得最大速度．
（2）N桿在外力作用下以已知的加速度加速2s，則此時的速度、感應電動勢、感應電流、安培力、等都能求出，由牛頓第二定律就能求出此時的外力大小和方向．
（3）在前一問的基礎上，同時給M桿一初速度，由于受到變化的摩擦力作用向左減速運動，由牛頓第二定律、安培力、滑動摩擦力、歐姆定律等表示出M桿的加速度表達式，從表達式可以看出隨時間的變化關系，從而平均加速度可以用始末加速度的平均值表示，M桿速度的變化為-4m/s，這樣M桿靜止的時間能求出．對N桿而言，時間求出，則在斜面上下滑的距離由勻加速直線運動位移公式求出．

解答 解：（1）金屬桿N在斜軌道下滑過程中，由于金屬桿M受到垂直導軌向下的力的作用，所以M棒始終處于靜止狀態(tài)．
    對N棒，只有當受到的合力為零時，速度達到最大．則有：
        $mgsin30°={B}_{2}•\frac{{B}_{2}d{v}_{m}}{2R}•d$    
    所以  ${v}_{m}=\frac{2mgRsin30°}{{{B}_{2}}^{2}rmyah6v^{2}}=\frac{2×1×10×0.5×0.5}{{1}^{2}×{1}^{2}}m$=5m/s
（2）金屬N在平行導軌的外力F作用下，由靜止開始沿導軌向下以加速度a=2m/s^2做勻加速運動，則t=2s時N棒的速度：
          v=at=2×2=4m/s
   感應電流：$I=\frac{{B}_{2}dv}{2R}=\frac{1×1×4}{2×0.5}A=4A$
   此時切割產生感應電流的安培力：F_安=B₂Id=1×4×4N=4N．
   由牛頓第二定律得：F+mgsin30°-F_安=ma    
    代入數(shù)據(jù)得到：F=1N   正值表示方向沿斜面向下．
（3）金屬桿N向下勻減速下滑的過程中，M桿向左做減速運動．
   對M桿，水平方向上有：μF_N=ma_M         ①
                豎直方向上有：mg+B₁Id=F_N     ②
   根據(jù)歐姆定律：$I=\frac{{B}_{2}d{v}_{M}}{2R}$                        ③
  而：v_N=at                                        ④
  聯(lián)立以上四式得：a_M=4+2.5t   
  由此可以看出M桿了加速度隨時間均勻增大，當t=0s時，${a}_{1}=4m/{s}^{2}$，設M桿減速到零的時間為t，加速度為 a₂=4+2.5t
  當M桿靜止時：$△v=\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{2}t=-4$
  將以上代入得：t=0.8s
對N桿t=0.8s內下滑的距離：$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×4×0．{8}^{2}m$=0.64m．
答：（1）若金屬桿N由靜止釋放，求其沿導軌OC下滑的最大速度為5m/s．
（2）若使金屬N在平行導軌的外力F作用下，由靜止開始沿導軌向下加速度a=2m/s²的勻加速運動，求t=2s時的外力為1N，方向沿斜面向下．
（3）在第（2）問中，金屬桿N運動的同時也給金屬桿M向左的初速度v₁=4m/s，求當金屬桿M停止運動時，金屬桿N沿OD下滑的距離為0.64m．

點評 本題的關鍵在于第三問，N桿勻加速直線運動的同時，給M桿一個初速度，M受向下的安培力增大，加速度增大，M做加速度增大的減速運動，求出加速度的平均值，從而得到其停止的時間，再對N桿而言，由運動學公式就能求出在這段時間內的位移．