Question

如圖所示，在xOy平面內(nèi)，直線MN和y軸之間存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第Ⅳ象限和第I象限的射線0C右下區(qū)域存在垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．有一質(zhì)量為m，帶電量為+q的質(zhì)點(diǎn)從電場(chǎng)左邊界上的A點(diǎn)沿x軸正方向射入電場(chǎng)，A點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離為d，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)y軸上P點(diǎn)時(shí)，速度方向與y軸負(fù)方向的夾角為θ=30°，P點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離為h．接著，質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，從磁場(chǎng)邊界OC上的Q點(diǎn)（未畫出）離開磁場(chǎng)之后，又從y軸上的D點(diǎn)垂直于y軸進(jìn)入電場(chǎng)，最后剛好回到A點(diǎn)．不計(jì)質(zhì)點(diǎn)的重力，求：
（1）D點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離；
（2）粒子從A點(diǎn)射入的初速度v₀；
（3）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）質(zhì)點(diǎn)先做類平拋運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)，粒子射出磁場(chǎng)后，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，再次進(jìn)入電場(chǎng)后又做類平拋運(yùn)動(dòng)．D點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離就是D點(diǎn)的縱坐標(biāo)數(shù)值，也就是Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)數(shù)值，由于質(zhì)點(diǎn)從y軸上的D點(diǎn)垂直于y軸進(jìn)入電場(chǎng)，最后剛好回到A點(diǎn)，由兩次類平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移相等，以及兩次運(yùn)動(dòng)的速度間的關(guān)系，可得D點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離
（2）由粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡尋找?guī)缀侮P(guān)系確定圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，由半徑公式得到粒子在P點(diǎn)的速度，對(duì)于粒子從A到P應(yīng)用動(dòng)能定理可得粒子在A點(diǎn)射入的初速度
（3）由粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡尋找?guī)缀侮P(guān)系確定軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，結(jié)合周期公式得到粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t

解答：解：（1）設(shè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)的速度為v，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)y軸上P點(diǎn)時(shí)，速度方向與y軸負(fù)方向的夾角為θ=30°，則有：
v0=vcos30°=

v

2

質(zhì)點(diǎn)先后兩次在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，且水平位移相等，故運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系為：
t₁=2t₂
由于在電場(chǎng)中加速度相等，設(shè)OD間的距離為h′，故沿y軸負(fù)方向的偏移量關(guān)系為：
h=

1

2

at

2 1

h′=

1

2

at

2 2

由以上可知：h′=

h

4

…①
（2）設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r，由幾何關(guān)系得：
h+h′=r（1+sin30°）…②
質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qv₀B=

mv 2 0

r

…③
由①②③得：v0=

5hqB

6m

（3）設(shè)質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)周期為T，由幾何關(guān)系得，質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
t=

240°

360°

T=

2

3

×

2πm

qB

=

4πm

3qB

答：（1）D點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離為

h

4

（2）粒子從A點(diǎn)射入的初速度為

5hqB

6m

（3）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

4πm

3qB

點(diǎn)評(píng)：解決質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，關(guān)鍵是找到軌跡，定出圓心，構(gòu)造三角形得到半徑表達(dá)式，然后結(jié)合半徑公式和周期公式解決