Question

14．兩顆相距足夠遠(yuǎn)的行星a、b，半徑均為R₀，兩行星各自周圍衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)速度的二次方v²與公轉(zhuǎn)半徑的倒數(shù)$\frac{1}{r}$的關(guān)系圖象如圖所示，則關(guān)于兩顆行星及它們的衛(wèi)星的描述，正確的是（　�。�

• A． 行星a的質(zhì)量較大
• B． 行星a的第一宇宙速度大
• C． 取相同公轉(zhuǎn)半徑，行星a的衛(wèi)星向心加速度較大
• D． 取相同公轉(zhuǎn)速度，行星a的衛(wèi)星周期較小

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得出線速度平方與軌道半徑的倒數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合圖線斜率比較行星的質(zhì)量．通過(guò)萬(wàn)有引力提供向心力得出第一宇宙速度，通過(guò)行星的質(zhì)量大小比較第一宇宙速度．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得出加速度的表達(dá)式，通過(guò)公轉(zhuǎn)半徑和行星的質(zhì)量，比較衛(wèi)星的向心加速度大�。�根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得出線速度與軌道半徑的關(guān)系式，通過(guò)公轉(zhuǎn)速度相等，行星質(zhì)量的大小關(guān)系得出衛(wèi)星的軌道半徑大小，從而結(jié)合周期和線速度的關(guān)系比較衛(wèi)星的周期大小．

解答 解：A、衛(wèi)星受到的萬(wàn)有引力提供向心力，得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，${v}^{2}=\frac{GM}{r}$，可知v²-$\frac{1}{r}$圖線的斜率表示GM，a的斜率大，則行星a的質(zhì)量較大，故A正確．
B、根據(jù)$G\frac{Mm}{{{R}_{0}}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{0}}$得，第一宇宙速度${v}_{1}=\sqrt{\frac{GM}{{R}_{0}}}$，因?yàn)樾行莂的質(zhì)量較大，則行星a的第一宇宙速度較大，故B正確．
C、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$得，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，取相同的公轉(zhuǎn)半徑，由于行星a的質(zhì)量較大，則行星a的衛(wèi)星向心加速度較大，故C正確．
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，取相同的公轉(zhuǎn)速度，由于行星a的質(zhì)量較大，可知行星a的衛(wèi)星軌道半徑較大，根據(jù)T=$\frac{2πr}{v}$知，行星a的衛(wèi)星周期較大，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一重要理論，知道線速度、加速度、周期等物理量與中心天體質(zhì)量和軌道半徑有關(guān)．