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【題目】隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式,為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析,從而得到表(單位:人)
經(jīng)常網(wǎng)購 | 偶爾或不用網(wǎng)購 | 合計 | |
男性 | 50 | 100 | |
女性 | 70 | 100 | |
合計 |
(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)?
(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再從這10人中隨機(jī)選取3人贈送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率;
②將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.
參考公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】李克強(qiáng)總理在2018年政府工作報告指出,要加快建設(shè)創(chuàng)新型國家,把握世界新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革大勢,深入實施創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略,不斷增強(qiáng)經(jīng)濟(jì)創(chuàng)新力和競爭力.某手機(jī)生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)政府號召,大力研發(fā)新產(chǎn)品,爭創(chuàng)世界名牌.為了對研發(fā)的一批最新款手機(jī)進(jìn)行合理定價,將該款手機(jī)按事先擬定的價格進(jìn)行試銷,得到一組銷售數(shù)據(jù),如表所示:
單價(千元) | ||||||
銷量(百件) |
已知.
(1)若變量具有線性相關(guān)關(guān)系,求產(chǎn)品銷量(百件)關(guān)于試銷單價(千元)的線性回歸方程;
(2)用(1)中所求的線性回歸方程得到與對應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計值.當(dāng)銷售數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差的絕對值時,則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從個銷售數(shù)據(jù)中任取個子,求“好數(shù)據(jù)”個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(參考公式:線性回歸方程中的估計值分別為.
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【題目】由甲、乙、丙三個人組成的團(tuán)隊參加某項闖關(guān)游戲,第一關(guān)解密碼鎖,3個人依次進(jìn)行,每人必須在1分鐘內(nèi)完成,否則派下一個人.3個人中只要有一人能解開密碼鎖,則該團(tuán)隊進(jìn)入下一關(guān),否則淘汰出局.根據(jù)以往100次的測試,分別獲得甲、乙解開密碼鎖所需時間的頻率分布直方圖.
(1)若甲解開密碼鎖所需時間的中位數(shù)為47,求、的值,并分別求出甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率;
(2)若以解開密碼鎖所需時間位于各區(qū)間的頻率代替解開密碼鎖所需時間位于該區(qū)間的概率,并且丙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的概率為0.5,各人是否解開密碼鎖相互獨立.
①按乙丙甲的先后順序和按丙乙甲的先后順序哪一種可使派出人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望更小.
②試猜想:該團(tuán)隊以怎樣的先后順序派出人員,可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小,不需要說明理由.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是圓內(nèi)接四邊形,,,.
(1)求證:平面平面;
(2)設(shè)線段的中點為,線段的中點為,且在線段上運動,求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
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【題目】設(shè)集合的元素均為實數(shù),若對任意,存在,,使得且,則稱元素個數(shù)最少的和為的“孿生集”;稱的“孿生集”的“孿生集”為的“2級孿生集”;稱的“2級孿生集”的“孿生集”為的“3級孿生集”,依此類推……
(1)設(shè),直接寫出集合的“孿生集”;
(2)設(shè)元素個數(shù)為的集合的“孿生集”分別為和,若使集合中元素個數(shù)最少且所有元素之和為2,證明:中所有元素之和為;
(3)若,請直接寫出的“級孿生集”的個數(shù),及所有“級孿生集”的并集的元素個數(shù).
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【題目】某公司打算引進(jìn)一臺設(shè)備使用一年,現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺10000元,乙設(shè)備每臺9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修,對于每臺設(shè)備,一年間三次及三次以內(nèi)免費維修,三次以外的維修費用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設(shè)備在一年間的維修次數(shù),得到下面的頻數(shù)分布表,以這兩種設(shè)備分別在50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.
維修次數(shù) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
甲設(shè)備 | 5 | 10 | 30 | 5 | 0 |
乙設(shè)備 | 0 | 5 | 15 | 15 | 15 |
(1)設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為和,求和的分布列;
(2)若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),希望設(shè)備購買和一年間維修的花費總額盡量低,且維修次數(shù)盡量少,則需要購買哪種設(shè)備?請說明理由.
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【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面四邊形為正方形,已知平面,,.
(1)證明:;
(2)求與平面所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在一點,使得平面平面?若存在,求的值并證明,若不存在,說明理由.
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【題目】將所有平面向量組成的集合記作,是從到的對應(yīng)關(guān)系,記作或,其中、、、都是實數(shù),定義對應(yīng)關(guān)系的模為:在的條件下的最大值記作,若存在非零向量,及實數(shù)使得,則稱為的一個特殊值;
(1)若,求;
(2)如果,計算的特征值,并求相應(yīng)的;
(3)若,要使有唯一的特征值,實數(shù)、、、應(yīng)滿足什么條件?試找出一個對應(yīng)關(guān)系,同時滿足以下兩個條件:①有唯一的特征值,②,并驗證滿足這兩個條件.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點到點的距離比它到軸的距離多1,記點的軌跡為;
(1)求軌跡的方程;
(2)求定點到軌跡上任意一點的距離的最小值;
(3)設(shè)斜率為的直線過定點,求直線與軌跡恰好有一個公共點,兩個公共點,三個公共點時的相應(yīng)取值范圍.
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