已知向量

a

=（2sinx，2sinx），

b

=（cosx，-sinx），求函數(shù)f（x）=

a

•

b

+1．
（1）如果f（x）=

1

2

，求sin4x的值．
（2）如果x∈（0，

π

2

），求f（x）的取值范圍．

已知F₁、F₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右交點(diǎn)，點(diǎn)P（-

2

，1）在橢圓上，線(xiàn)段PF₂與y軸的交點(diǎn)M滿(mǎn)足

PM

+

F2M

=

0

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)OA與OB的斜率乘積k_OA•k_OB=-

1

2

，動(dòng)點(diǎn)N滿(mǎn)足

ON

=

OA

+λ

OB

（其中實(shí)數(shù)λ為常數(shù)），問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)Q₁、Q₂，使得|NQ₁|+|NQ₂|=8？若存在，求Q₁、Q₂的坐標(biāo)及λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

已知點(diǎn)A、B為雙曲線(xiàn)

x2

2

-

y2

25

=1的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上（異于A、B點(diǎn)），直線(xiàn)PA、PB分別交y軸于點(diǎn)C、D，證明：以CD為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn)．

已知雙曲線(xiàn)

x2

a2

-y²=1的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線(xiàn)的離心率為．

已知雙曲線(xiàn)C₁：

x2

3

-y²=1的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，橢圓C₂：

x2

5

+y2=1，點(diǎn)P為C₁與C₂的一個(gè)交點(diǎn)，則△PF₁F₂的面積為（　　）

如圖，直線(xiàn)AC、DF被三個(gè)平行平面α、β、γ所截：
（1）是否一定有AD∥BE∥CF；
（2）求證：

AB

BC

=

DE

EF

．

已知雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

5

，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（　�。�

等軸雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，與直線(xiàn)x-2y=0交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2

15

，求雙曲線(xiàn)方程．

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，△ABC是正三角形，AC△與BD的交點(diǎn)M恰好是AC的中點(diǎn)，又是PA=AB=2，∠CDA=120°．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB．
（1）證明：PC⊥AB；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．