正項數(shù)列的前n項和為，且。
（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列并求其通項公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：。

數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，且，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和的最小值；
（3）求數(shù)列的前項和．

已知為等比數(shù)列,其中a₁=1,且a₂,a₃+a₅,a₄成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式：
(2)設(shè),求數(shù)列{}的前n項和T_n．

已知等差數(shù)列{}的首項a₁=1，公差d>0，且分別是等比數(shù)列{}的b₂，b₃，b₄．
(I)求數(shù)列{}與{{}的通項公式；
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{}對任意自然數(shù)n均有成立，求的值．

已知首項為的等比數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，其前n項和為S_n，且S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）已知，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

已知首項為的等比數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，其前n項和為S_n，且S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若，數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，求滿足不等式≥的最大n值．

已知集合，對于數(shù)列中.
（Ⅰ）若三項數(shù)列滿足，則這樣的數(shù)列有多少個？
（Ⅱ）若各項非零數(shù)列和新數(shù)列滿足首項，（），且末項，記數(shù)列的前項和為，求的最大值．

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n+n²-4n+1．
（1）若a₁=3，求證：存在（a，b，c為常數(shù)），使數(shù)列{a_n+f(n)}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a_n是一個等差數(shù)列{b_n}的前n項和，求首項a₁的值與數(shù)列{b_n}的通項公式．

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n+n²-4n+1．
（1）若a₁=3，求證：存在（a，b，c為常數(shù)），使數(shù)列{a_n+f(n)}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a_n是一個等差數(shù)列{b_n}的前n項和，求首項a₁的值與數(shù)列{b_n}的通項公式．

設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，.
（1）求；
（2）若從中抽取一個公比為的等比數(shù)列，其中，且，.
①當取最小值時，求的通項公式；
②若關(guān)于的不等式有解，試求的值.