已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿(mǎn)足：對(duì)任意正整數(shù)n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，且a₁＝10，a₂＝15．

(Ⅰ)求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；

(Ⅱ)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅲ)設(shè)S_n＝＋＋…＋，如果對(duì)任意正整數(shù)n，不等式2aS_n＜2－恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

某廠(chǎng)使用兩種零件A、B裝配兩種產(chǎn)品P、Q，該廠(chǎng)的生產(chǎn)能力是月產(chǎn)P產(chǎn)品最多有2500件，月產(chǎn)Q產(chǎn)品最多有1200件；而且組裝一件P產(chǎn)品要4個(gè)A、2個(gè)B，組裝一件Q產(chǎn)品要6個(gè)A、8個(gè)B，該廠(chǎng)在某個(gè)月能用的A零件最多14000個(gè)；B零件最多12000個(gè)．已知P產(chǎn)品每件利潤(rùn)1000元，Q產(chǎn)品每件2000元，欲使月利潤(rùn)最大，需要組裝P、Q產(chǎn)品各多少件？最大利潤(rùn)多少萬(wàn)元？

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且S₅＝55，a₂＋a₅＝20．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b_n＝(17－a_n)·2^n－1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n＝(m＋1)－ma_n(m為常數(shù)，且m＞0)．

(1)求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}的公比q＝f(n)，數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁＝2a₁，b_n＝f(b_n－1)(n≥2，n∈N^*)，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；

(3)在滿(mǎn)足(2)的條件下，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n．

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂＝3，a₆＝243，(1)求a₄的值，(2)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁＝20，前n項(xiàng)和為S_n，且S₁₀＝S₁₅，

(Ⅰ)求{a_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)求{a_n}的前n項(xiàng)和S_n及使得S_n最大的序號(hào)n的值．

已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁＝1且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．

(Ⅰ)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；

(Ⅱ)求數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n．

已知橢圓(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C與直線(xiàn)y＝kx＋1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為P，若直線(xiàn)OP的斜率為－1，求△OAB的面積．