【題目】(2017·衢州調(diào)研)已知四棱錐PABCD的底面ABCD是菱形,∠ADC120°AD的中點M是頂點P在底面ABCD的射影,NPC的中點.

(1)求證:平面MPB⊥平面PBC;

(2)MPMC,求直線BN與平面PMC所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析(2

【解析】試題分析:(1)根據(jù)菱形性質(zhì)得MBBC,再根據(jù)射影定義得PM⊥平面ABCD ,即得PMBC ,由線面垂直判定定理得BC⊥平面PMB,最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論,(2)先根據(jù)條件建立空間直角坐標系,設立各點坐標,根據(jù)方程組解平面PMC法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角,最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關系求直線BN與平面PMC所成角的正弦值.

試題解析: (1)證明 ∵四邊形ABCD是菱形,∠ADC120°,

MAD的中點,∴MBADMBBC.

又∵P在底面ABCD的射影MAD的中點,

PM⊥平面ABCD

又∵BC平面ABCD,PMBC

PMMBM,PM,MB平面PMB,

BC⊥平面PMB,又BC平面PBC,

∴平面MPB⊥平面PBC.

(2)解 法一 過點BBHMC,連接HN,

PM⊥平面ABCD,BH平面ABCD,BHPM

又∵PM,MC平面PMCPMMCM,

BH⊥平面PMC

HN為直線BN在平面PMC上的射影,

∴∠BNH為直線BN與平面PMC所成的角,

在菱形ABCD中,設AB2a,則MBAB·sin 60°a,

MCa.

又由(1)MBBC

∴在MBC中,BHa

(1)BC⊥平面PMB,PB平面PMB,

PBBC,BNPCa,

sinBNH.

法二 由(1)MA,MB,MP兩兩互相垂直,以M為坐標原點,以MAMB,MP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Mxyz,不妨設MA1,

M(0,0,0),A(1,0,0)B(0,,0),P(0,0,)C(2,0),

NPC的中點,∴N,

設平面PMC的法向量為n(x0,y0z0),

又∵(00,),(2,0),

y01,則n,|n|,

又∵,||,

|cos,n|.

所以,直線BN與平面PMC所成角的正弦值為.

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(注:標準差,其中x1,x2,,xn的平均數(shù))

A.12s1s2

B.12,s1s2

C.12s1s2

D.12,s1s2

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