【題目】己知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)討論的零點的個數(shù).
【答案】(1)見解析;(2)當(dāng)或時,有1個零點;當(dāng)且時,有2個零點.
【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及即可;
(2)對參數(shù)的值進行分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點存在性定理判斷零點的個數(shù).
(1)的定義域為,
則在上單調(diào)遞增
又,所以當(dāng)時,
當(dāng)時,
即的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為
故的極小值為,無極大值
(2)當(dāng)時,由(1)知
故僅有一個零點;
當(dāng)時,,令;
令,所以在上單調(diào)遞增;
令,所以在上單調(diào)遞減,且,,
所以,最小值與0的比較等價于與0的大小比較,
所以分三類進行討論:
①當(dāng)時,即時,由在上單調(diào)遞減及在上單調(diào)遞增,且,
由零點存在定理,得在上存在唯一零點,設(shè)為所以
0 | |||||
0 | 0 | ||||
遞增 | 極大值 | 遞減 | 極小值 | 遞增 |
又及
由零點存在定理,得在上存在唯一零點,設(shè)為,
綜上,當(dāng)時,在上存在2個零點(一個為,一個為);
②當(dāng)時,即時,由在上單調(diào)遞減及在上單調(diào)遞增,
且,得在上單調(diào)遞增,
故在上只有一個零點;
③當(dāng)時,同理可得在上存在2個零點:一個為,一個為
綜上可得,當(dāng)或時,有1個零點;
當(dāng)且時,有2個零點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】獎飯店推出甲.乙兩種新菜品,為了了解兩種菜品的受歡迎程度,現(xiàn)統(tǒng)計一周內(nèi)兩種菜品每天的銷售量,得到下面的莖葉圖.下列說法中,不正確的是( )
A.甲菜品銷售量的眾數(shù)比乙菜品銷售量的眾數(shù)小
B.甲菜品銷售量的中位數(shù)比乙菜品銷售量的中位數(shù)小
C.甲菜品銷售量的平均值比乙菜品銷售量的平均值大
D.甲菜品銷售量的方差比乙菜品銷售量的方差大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,數(shù)列A:,,…中的項均為不大于的正整數(shù).表示,,…中的個數(shù)().定義變換,將數(shù)列變成數(shù)列:,,…其中.
(1)若,對數(shù)列:,寫出的值;
(2)已知對任意的(),存在中的項,使得.求證: ()的充分必要條件為();
(3)若,對于數(shù)列:,,…,令:,求證:().
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知函數(shù)的零點構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列,把函數(shù)的圖像沿軸向左平移個單位,得到函數(shù)的圖像,關(guān)于函數(shù),下列說法正確的是( )
A. 在上是增函數(shù)
B. 其圖像關(guān)于對稱
C. 函數(shù)是奇函數(shù)
D. 在區(qū)間上的值域為[-2,1]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分) 一個社會調(diào)查機構(gòu)就某社區(qū)居民的月收入調(diào)查了10 000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖(如圖).
(1)為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系,要從這10 000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調(diào)查,求月收入在(元)段應(yīng)抽出的人數(shù);
(2)為了估計該社區(qū)3個居民中恰有2個月收入在(元)的概率,采用隨機模擬的方法:先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),我們用0,1,2,3,4表示收入在(元)的居民,剩余的數(shù)字表示月收入不在(元)的居民;再以每三個隨機數(shù)為一組,代表統(tǒng)計的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)如下:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計,計算該社區(qū)3個居民中恰好有2個月收入在(元)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為積極響應(yīng)國家“陽光體育運動”的號召,某學(xué)校在了解到學(xué)生的實際運動情況后,發(fā)起以“走出教室,走到操場,走到陽光”為口號的課外活動倡議。為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運動時間的情況,從高一高二基礎(chǔ)年級與高三三個年級學(xué)生中按照4:3:3的比例分層抽樣,收集300位學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時),得到如圖所示的頻率分布直方圖。
(1)據(jù)圖估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間.并估計高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數(shù);
(2)規(guī)定每周平均體育運動時間不少于6小時記為“優(yōu)秀”,否則為“非優(yōu)秀”,在樣本數(shù)據(jù)中,有30位高三學(xué)生的每周平均體育運動時間不少于6小時,請完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間是否“優(yōu)秀”與年級有關(guān)”.
基礎(chǔ)年級 | 高三 | 合計 | |
優(yōu)秀 | |||
非優(yōu)秀 | |||
合計 | 300 |
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
附:K2,n=a+b+c+d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線,點,點是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動點,且點到直線的距離是點到點的距離的2倍.記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過點的直線與曲線交于、兩點,若(是坐標(biāo)系原點)的面積為,求直線的方程;
(3)若(2)中過點的直線是傾斜角不為0的任意直線,仍記與曲線的交點為、,設(shè)點為線段的中點,直線與直線交于點,求的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐,底面為菱形,,為上的點,過的平面分別交,于點,,且平面.
(1)證明:;
(2)當(dāng)為的中點,,與平面所成的角為,求與平面所成角的正弦值.
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