Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-bx²圖象上一點P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2+2．
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[

1

e

， e]內(nèi)有兩個不等實根，求m的取值范圍（其中e為自然對數(shù)的底）．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)f（x）進行求導，根據(jù)f'（2）=-3得到關于a、b的關系式，再將x=2代入切線方程得到f（2）的值從而求出答案．
（2）由（1）確定函數(shù)f（x）的解析式，進而表示出函數(shù)h（x）后對其求導，根據(jù)單調(diào)性與其極值點確定關系式得到答案．

解答：解（1）f′(x)=

a

x

-2bx，f′(2)=

a

2

-4b，f（2）=aln2-4b．
∴

a

2

-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2．
解得a=2，b=1．
（2）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
則h′(x)=

2

x

-2x=

2(1-x2)

x

，令h'（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在[

1

e

， e]內(nèi)，當x∈[

1

e

， 1)時，h'（x）＞0，∴h（x）是增函數(shù)；
當x∈（1，e]時，h'（x）＜0，∴h（x）是減函數(shù)．
則方程h（x）=0在[

1

e

， e]內(nèi)有兩個不等實根的充要條件是

h( 1 e ) ≤ 0 h(1)＞0 h(e) ≤ 0.

即1＜m≤

1

e2

+2．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．