Question

已知函數(shù).

（I）求證：不論為何實(shí)數(shù)總是為增函數(shù)；

（II）確定的值, 使為奇函數(shù)；

（Ⅲ）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí), 求的值域.

 

Answer 1

【答案】

(1) 見解析；(2)  ；（3）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918445333202556/SYS201211191845472226235360_DA.files/image004.png">

【解析】本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．

（1）先設(shè)x₁＜x₂，欲證明不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)，只須證明：f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；

（2）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，利用定義得出f（-x）=-f（x），從而求得a值即可；

（3）由（2）知f(x)=利用指數(shù)函數(shù)2^x的性質(zhì)結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求得f（x）的值域．

解: (1) 依題設(shè)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918445333202556/SYS201211191845472226235360_DA.files/image006.png">       ……1分

原函數(shù)即   ，設(shè),

則=,……2分

, ,

即,所以不論為何實(shí)數(shù)總為增函數(shù).     ……5分

(2) 為奇函數(shù), ,即,

        則，

          ……10分

（3）由(2)知, ,,

      

       所以的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918445333202556/SYS201211191845472226235360_DA.files/image004.png">    ……14分