Question

設函數f（x）=

1

3

 x³+bx²+cx（c＜b＜1）在x=1處取到一個極小值，且存在實數m，使f′（m）=-1，
①證明：-3＜c≤-1；
②判斷f′（m-4）的正負并加以證明；
③若f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于

-2c

3

，求f（x）在x∈[m-4，1]上的最小值．

Answer 1

分析：①存在實數m，使f′（m）=-1，得到關于m的一元二次方程有實數根，用根的判別式列出關于b、c的不等式，結合函數在x=1處取到極小值，說明f′（1）=0，消去b得到關于c的一元二次不等式，最后結合c＜b＜1解出c取值范圍．
②函數的導數是關于x的二次函數，其圖象開口向上，在區(qū)間（c，1）上取值為負，而f′（m）=-1為負，得到-3＜c＜m＜1，從而得到-7＜m-4＜-3，因此f′（m-4）的符號為正．
③由②f′（m-4）＞0且在x=1時函數f（x）取到極小值，得到函數f（x）的單調性：在（-∞，c）和（1，+∞）上為增函數，在（c，1）上為減函數．因此m-4≤c，f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值為f（c），從而解出c=-1且m=0，得出函數的表達式為f（x）=

1

3

 x³-x，最后可得f（x）在x∈[-4，1]上的最小值．

解答：解：①求出f′（x）=x²+2bx+c；
∴f′（1）=1+2b+c=0⇒b=

-1-c

2

且f′（m）=m²+（-1-c）m+c=-1；
∴m²-（1+c）m+c+1=0，
∴△=（1+c）²-4（1+c）≥0，則c≥3或c≤-1；
又∵b=

-1-c

2

＜1
∴c＞-3；又b=

-1-c

2

＞c，則有c＜

-1

3

，∴-3＜c≤-1．…（4分）
②f′（x）=x²+（-1-c）x+c=（x-c） （x-1），
其圖象開口向上，對稱軸為：-1＜x₀=

1+c

2

＜0；
∵f′（m）=-1＜0，
∴-3＜c＜m＜1；
則-7＜m-4＜-3⇒f′（m-4）＞0；…（9分）
③由于f′（m-4）＞0；
∵函數f（x）在x=1處取到一個極小值，
∴函數f（x）在（-∞，c）和（1，+∞）上為增函數，在（c，1）上為減函數，
∴m-4≤c，
f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于f（c）=

1

3

 c³+

(-1-c)

2

•c²+c²=

-2c

3

，
∴c=-1，或c=4（舍去）；
由f′（m）=-1，可得m=0，則f（x）=

1

3

 x³-x，（x∈[-4，1]）
∴函數的最小值為f（-4）=

-52

3

．…（13分）

點評：本題考查了利用導數研究函數的極值、函數在某點取得極值的條件和得用導數求閉區(qū)間上函數的最值等知識點，屬于中檔題．