已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，且a≠0），當(dāng)x∈[-3，1]時(shí)，有f（x）≤0；當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）時(shí)，有（x）＞0，且f（2）=5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象始終在函數(shù)g（x）=mx-7的圖象上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
分析：（1）由題意知，-3，1是二次方程ax2+bx+c=0的兩根，從而可求得f（x）的解析式；
（2）x2+2x-3＞mx-7在x∈[1，3]時(shí)恒成立，可轉(zhuǎn)化為：m＜x+
4
x
+2在x∈[1，3]時(shí)恒成立，應(yīng)用基本不等式即可．
解答：解：（1）由題意知，-3，1是二次方程ax2+bx+c=0的兩根．
可設(shè)f（x）=a（x-1）（x+3）（a≠0）…4
∵f（2）=5，∴f（2）=5a=5，即a=1，
∴f（x）=x2+2x-3…6
（2）由題意知，f（x）＞g（x）在x∈[1，3]時(shí)恒成立，即x2+2x-3＞mx-7在x∈[1，3]時(shí)恒成立，…10
故m＜x+
4
x
+2在x∈[1，3]時(shí)恒成立，
而x+
4
x
+2≥2
4
+2=6．（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立．）
故m＜6…13
點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式，難點(diǎn)在于對(duì)題目條件反映的“-3，1是二次方程ax2+bx+c=0的兩根”的理解，著重考查化歸思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且滿足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12-t？請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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