已知拋物線E:x2=4y,直線l過點M(0,2)且與拋物線交于A、B兩點,直線OA、OB分別與拋物線的準(zhǔn)線l0交于C、D.
(1)若點P是拋物線y=
1
6
x2+
1
2
上任意一點,點P在直線l0上的射影為Q,求證:PQ=PM;
(2)求證:
OA
OB
為定值;
(3)求CD的最小值.
分析:(1)設(shè)P(x0,
1
6
x02+
1
2
),拋物線E:x2=4y的準(zhǔn)線方程l0為y=-1.由點P在直線l0上的射影為Q,知PQ=
1
6
x02+
3
2
,由M(0,2),知PM=
(x0-0)2+(
1
6
x
0
2
-
3
2
)2
=
1
6
x02+
3
2
,由此能夠證明PQ=PM.
(2)由題設(shè)知直線AB的斜率一定存在,設(shè)AB:y=kx+2,由
x2=4y
y=kx+2
,得x2-4kx-8=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k,x1•x2=-8,y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-8k2+8k2+4=4,由此能夠證明
OA
OB
為定值.
(3)由A(x1,y1),B(x2,y2),O(0,0),C,D都在直線l0:y=-1上,知C(-
x2
y2
,-1)
,D(-
x1
y1
,-1
),故CD=|
x2
y2
-
x1
y1
|=
|x2y1-x1y2|
y1y2
=
|x2(kx1+2)-x1(kx2+2)|
4
=
|x1-x2|
2
,由此能求出CD的最小值.
解答:解:(1)∵點P是拋物線y=
1
6
x2+
1
2
上任意一點,
∴設(shè)P(x0,
1
6
x02+
1
2
),
拋物線E:x2=4y的準(zhǔn)線方程l0為y=-1.
∵點P在直線l0上的射影為Q,
∴PQ=
1
6
x02+
3
2
,
∵M(jìn)(0,2),∴PM=
(x0-0)2+(
1
6
x
0
2
-
3
2
)2
=
1
6
x02+
3
2
,
∴PQ=PM.
(2)證明:由題設(shè)知直線AB的斜率一定存在,設(shè)AB:y=kx+2,
x2=4y
y=kx+2
,得x2-4kx-8=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
x1+x2=4k,x1•x2=-8,
y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-8k2+8k2+4=4,
OA
=(x1,y1),
OB
=(x2,y2),
OA
OB
=x1x2+y1y2
=-8+4=-4.
OA
OB
為定值-4.
(3)∵A(x1,y1),B(x2,y2),O(0,0),
∴直線AO:
y
x
=
y1
x1
,直線BO:
y
x
=
y2
x2

∵C,D都在直線l0:y=-1上,
C(-
x2
y2
,-1)
,D(-
x1
y1
,-1
),
∴CD=|
x2
y2
-
x1
y1
|=
|x2y1-x1y2|
y1y2

=
|x2(kx1+2)-x1(kx2+2)|
4

=
|x1-x2|
2
=
(x1+x2)2-4x1x2
2

=
16k2+32
2
=2
k2+2

∴當(dāng)k=0時,CD取最小值2
2
點評:本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強,難度大,有一定的探索性,對數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線E的頂點在原點,焦點F在y軸正半軸上,拋物線上一點P(m,4)到其準(zhǔn)線的距離為5,過點F的直線l依次與拋物線E及圓x2+(y-1)2=1交于A、C、D、B四點.
(1)求拋物線E的方程;
(2)探究|AC|•|BD|是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請說明理由;
(3)過點F作一條直線m與直線l垂直,且與拋物線交于M、N兩點,求四邊形AMBN面積最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線P:x2=2py (p>0).
(Ⅰ)若拋物線上點M(m,2)到焦點F的距離為3.
(。┣髵佄锞P的方程;
(ⅱ)設(shè)拋物線P的準(zhǔn)線與y軸的交點為E,過E作拋物線P的切線,求此切線方程;
(Ⅱ)設(shè)過焦點F的動直線l交拋物線于A,B兩點,連接AO,BO并延長分別交拋物線的準(zhǔn)線于C,D兩點,求證:以CD為直徑的圓過焦點F.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線E:x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線方程是y=-
1
2

(1)求拋物線E的方程;
(2)過點F(0,
1
2
)的直線l與拋物線E交于P,Q兩點,設(shè)N(0,a)(a<0),且
NP
NQ
≥0
恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省常州市前黃高級中學(xué)高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知拋物線E:x2=4y,直線l過點M(0,2)且與拋物線交于A、B兩點,直線OA、OB分別與拋物線的準(zhǔn)線l交于C、D.
(1)若點P是拋物線上任意一點,點P在直線l上的射影為Q,求證:PQ=PM;
(2)求證:為定值;
(3)求CD的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案