(2012•太原模擬)選修4-1:幾何證明選講
如圖,已知PA與圓O相切于點(diǎn)A,經(jīng)過點(diǎn)O的割線PBC交圓O于點(diǎn)B,C,∠APC的平分線分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.
(Ⅰ)證明:∠ADE=∠AED;
(Ⅱ)若AC=AP,求
PCPA
的值.
分析:(Ⅰ)根據(jù)弦切角定理,得到∠BAP=∠C,結(jié)合PE平分∠APC,可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED;
(Ⅱ)根據(jù)AC=AP得到∠APC=∠C,結(jié)合(I)中的結(jié)論可得∠APC=∠C=∠BAP,再在△APC中根據(jù)直徑BC得到∠PAC=90°+∠BAP,利用三角形內(nèi)角和定理可得∠C=∠APC=∠BAP=
1
3
×90°=30°
.利用直角三角形中正切的定義,得到
CA
AB
=
3
,最后通過內(nèi)角相等證明出△APC∽△BPA,從而
PC
PA
=
CA
AB
=
3
解答:解:(Ⅰ)∵PA是切線,AB是弦,
∴∠BAP=∠C.
又∵∠APD=∠CPE,
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE.
∵∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE,
∴∠ADE=∠AED.…(5分)
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知∠BAP=∠C,
∵∠APC=∠BPA,
∵AC=AP,
∴∠APC=∠C
∴∠APC=∠C=∠BAP.
由三角形內(nèi)角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°.
∵BC是圓O的直徑,
∴∠BAC=90°.
∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°.
∠C=∠APC=∠BAP=
1
3
×90°=30°

在Rt△ABC中,
1
tanC
=
CA
AB
,即
1
tan30°
=
CA
AB
,
CA
AB
=
3

∵在△APC與△BPA中
∠BAP=∠C,∠APB=∠CPA,
∴△APC∽△BPA.
PC
PA
=
CA
AB

PC
PA
=
CA
AB
=
3
.   …(10分)
點(diǎn)評:本題綜合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函數(shù)的定義和相似三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn),屬于中檔題.找到題中角的等量關(guān)系,計算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形,是解決本題的關(guān)鍵所在.
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a
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,且
a
b
,則x=
2
2

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a
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-
1
3
-
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