Question

【題目】已知橢圓C以原點(diǎn)為中心，左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，0），長軸長是短軸長的 倍，直線l與橢圓C交于點(diǎn)A與B，且A、B都在x軸上方，滿足∠OFA+∠OFB=180°；

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）對于動(dòng)直線l，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無論∠OFA如何變化，直線l總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： （a＞b＞0），

由題意可知：2a= 2b，即a= b，

由c=1，則a2=b2+c2=b2+1，

代入求得：a2=2，b2=1，

橢圓C的方程為：

（2）解：存在一個(gè)定點(diǎn)M（﹣2，0），無論∠OFA如何變化，直線l總經(jīng)過此定點(diǎn)

證明：由OFA+∠OFB=180°，則B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B1在直線AF上．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2

設(shè)直線AF方程：y=k（x+1），代入 ，

得：（k2+ ）x2+2k2x+k2﹣1=0，…（13分）

由韋達(dá)定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，

由直線AB的斜率kAB=

AB的方程：y﹣y1= （x﹣x1），

令y=0，得：x1﹣y1 ，

y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），

x= = = = =﹣2，

∴直線l總經(jīng)過定點(diǎn)M（﹣2，0）．

【解析】（1）由題意可知設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： （a＞b＞0），2a= 2b，即a= b，代入求得：a2=2，b2=1，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B1在直線AF上．設(shè)直線AF方程：y=k（x+1），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式，代入由x= = ，此能證明直線l總經(jīng)過定點(diǎn)M（﹣2，0）．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：即可以解答此題．