Question

用坐標(biāo)法證明：平面內(nèi)任意一點(diǎn)到矩形的一對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)的距離平方和等于這個(gè)點(diǎn)到另一對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)的距離平方和.

Answer 1

證明:如圖所示,取坐標(biāo)軸和矩形邊平行建立坐標(biāo)系,設(shè)P(x,y)為任意點(diǎn),矩形四個(gè)頂點(diǎn)為?A(x₁,y₁),C(x₂,y₂),B(x₁,y₂),D(x₂,y₁),則有

|PA|²+|PC|²=(x₁-x)²+(y₁-y)²+(x₂-x)²+(y₂-y)²,

|PB|²+|PD|²=(x₁-x)²+(y₂-y)²+(x₂-x)²+(y₁-y)².

∴|PA|²+|PC|²=|PB|²+|PD|².

啟示:在上述證明中,若選取矩形的鄰邊AB、BC所在直線分別為y軸和x軸,那么矩形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,y₁),B(0,0),C(x₁,0),D(x₁,y₁),這樣數(shù)據(jù)更簡(jiǎn)單,運(yùn)算更簡(jiǎn)便了.因此用坐標(biāo)法解題,坐標(biāo)系選取得適當(dāng),可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.