Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+(a-3)x+lnx．
（1）若函數(shù)f（x）是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；
（2）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點的橫坐標為x₀，有f′(x0)=

y1-y2

x1-x2

成立？若存在，請求出x₀的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出導函數(shù)，令導函數(shù)大于等于0恒成立或小于等于0恒成立，分離出a，利用基本不等式求出a的范圍，從而求出a的最小值；
（2）利用兩點的斜率公式求出k，求出f′（x₀）列出方程，通過換元構(gòu)造新函數(shù)，用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，得到矛盾．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

2

x2+(a-3)x+lnx（x＞0），
∴f′（x）=x+（a-3）+

1

x

；
若f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
則f′（x）≥0對x＞0恒成立，即a≥-（x+

1

x

）對x＞0恒成立，
當x＞0時，-（x+

1

x

）+3≤-2+3=1；
∴a≥1．
若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
則f′（x）≤0對x＞0恒成立，即a≤-（x+

1

x

）+3對x＞0恒成立，
這是不可能的．
綜上，a≥1．
∴a的最小值為1．
（2）假設存在不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設0＜x₁＜x₂，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=

( 1 2 x12+(a-3)x1+lnx1)-( 1 2 x22+(a-3)x2+lnx2)

x1-x2

=

1

2

（x₁+x₂）+（a-3）+

ln x1 x2

x1-x2

；
∵f′（x₀）=x₀+（a-3）+

1

x0

，x₀=

1

2

（x₁+x₂），
若k=f′（x₀），則

ln x1 x2

x1-x2

=

1

x0

，即ln

x1

x2

=

2(x1-x2)

x1+x2

=

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

（*）；
令t=

x1

x2

，則函數(shù)u（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（0＜t＜1），
則u′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，∴u（t）在0＜t＜1上是增函數(shù)，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴（*）式不成立，與假設矛盾．∴k≠f′（x₀）．
因此，滿足條件的x₀不存在．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎知識，也考查了運算能力與化歸、轉(zhuǎn)化思想等知識，是難題．