【題目】如圖,A、B分別是橢圓的左、右端點(diǎn),F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且位于x軸上方,PA⊥PF.
(1)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn),M到直線AP的距離等于MB,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(1)先求出PA、F的坐標(biāo),設(shè)出P的坐標(biāo),求出、的坐標(biāo),由題意可得,且y>0,
解方程組求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)求出直線AP的方程,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo),由M到直線AP的距離等于|MB|,求出點(diǎn)M的坐標(biāo),再求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的平方得解析式,配方求得最小值.
試題解析:
(1)由已知可得點(diǎn)A(﹣6,0),F(xiàn)(4,0),設(shè)點(diǎn)P(x,y),則=(x+6,y),=(x﹣4,y).
由已知可得,2x2+9x﹣18=0,解得x=,或x=﹣6.
由于y>0,只能x=,于是y=.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是.
(2)直線AP的方程是 ,即 x﹣y+6=0.
設(shè)點(diǎn)M(m,0),則M到直線AP的距離是.
于是=|6﹣m|,又﹣6≤m≤6,解得m=2,故點(diǎn)M(2,0).
設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)M的距離為d,有 d2=(x﹣2)2+y2 =x2﹣4x+4+20﹣x2 =(x﹣)2+15,
∴當(dāng)x=時(shí),d取得最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下四個命題中:
①某地市高三理科學(xué)生有15000名,在一次調(diào)研測試中,數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布,已知,若按成績分層抽樣的方式抽取100份試卷進(jìn)行分析,則應(yīng)從120分以上(包括120分)的試卷中抽取份;
②已知命題,則:;
③在上隨機(jī)取一個數(shù),能使函數(shù)在上有零點(diǎn)的概率為;
④設(shè),則“”是“”的充要條件.
其中真命題的序號為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】200輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示,則時(shí)速在[50,70)的汽車大約( )
A.60輛
B.80輛
C.100輛
D.120輛
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競賽,為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在[50,60),[90,100]的數(shù)據(jù)).
(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x,y的值;
(2)估計(jì)本次競賽學(xué)生成績的中位數(shù)和平均分;
(3)在選取的樣本中,從競賽成績在80分以上(含80分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90,100]內(nèi)的頻率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè):實(shí)數(shù)滿足,其中; :實(shí)數(shù)滿足.
(1)若,且為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若是的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切.
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵已知點(diǎn)A、B為動直線與橢圓C的兩個交點(diǎn),問:在x軸上是否存在定點(diǎn)E,使得為定值?若存在,試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,且,正項(xiàng)數(shù)列滿足,其前7項(xiàng)和為42.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)令,數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對任意正整數(shù),都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)將數(shù)列的項(xiàng)按照“當(dāng)為奇數(shù)時(shí),放在前面;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),放在前面”的要求進(jìn)行排列,得到一個新的數(shù)列:,求這個新數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形中, 為正三角形, , , 與中心點(diǎn),將沿邊折起,使點(diǎn)至點(diǎn),已知與平面所成的角為.
(1)求證:平面平面;
(2)求已知二面角的余弦值.
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