Question

已知橢圓C1：

x2

2

+y2=1和圓C2：x2+y2=1，左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為A，B，且F是橢圓C₁的右焦點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P是曲線(xiàn)C₂上位于第二象限的一點(diǎn)，且△APF的面積為

1

2

+

2

4

，求證：AP⊥OP；
（2）點(diǎn)M和N分別是橢圓C₁和圓C₂上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)BN的斜率是直線(xiàn)BM斜率的2倍，求證：直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)曲線(xiàn)C₂上的點(diǎn)P（x₀，y₀），利用△APF的面積為

1

2

+

2

4

，可求P的坐標(biāo)，計(jì)算

AP

•

OP

=0，即可證得結(jié)論；
（2）設(shè)直線(xiàn)BM、BN的方程為y=2kx-1，代入橢圓方程，求得M，N的坐標(biāo)，計(jì)算直線(xiàn)MN的斜率，可得直線(xiàn)MN的方程，即可求得結(jié)論．

解答：證明：（1）設(shè)曲線(xiàn)C₂上的點(diǎn)P（x₀，y₀），且x₀＜0，y₀＞0，由題意A（-

2

，0），F(xiàn)（1，0）
∵△APF的面積為

1

2

+

2

4

，∴

1

2

|AF|y0=

1

2

(1+

2

)y0=

1

2

+

2

4

∴y0=

2

2

，x0=-

2

2

∴

AP

•

OP

=(

2

2

，

2

2

)•(-

2

2

，

2

2

)=0
∴AP⊥OP；
（2）設(shè)直線(xiàn)BM的斜率為k，則直線(xiàn)BN的斜率為2k，又兩直線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)B（0，-1）
∴直線(xiàn)BM的方程為y=kx-1，直線(xiàn)BN的方程為y=2kx-1
將y=kx-1代入橢圓方程，消元可得（1+2k²）x²-4kx=0，∴xM=

4k

2k2+1

，∴yM=

2k2-1

2k2+1

∴M（

4k

2k2+1

，

2k2-1

2k2+1

）
同理N（

4k

4k2+1

，

4k2-1

4k2+1

）
∴直線(xiàn)MN的斜率為kMN=

4k2-1 4k2+1 - 2k2-1 2k2+1

4k 4k2+1 - 4k 2k2+1

=-

1

2k

∴直線(xiàn)MN的方程為y-

2k2-1

2k2+1

=-

1

2k

（x-

4k

2k2+1

）
整理得y=-

1

2k

x+1
∴直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，確定點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．