如圖,已知點
P是三角形
ABC外一點,且
底面
,點
,
分別在棱
上,且
。 。
(1)求證:
平面
;
(2)當(dāng)
為
的中點時,求
與平面
所成的角的大;
(3)是否存在點
使得二面角
為直二面角?并說明理由.
(1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又
,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D為PB的中點,DE//BC,
∴
,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP為等腰直角三角形,∴
,
∴在Rt△ABC中,
,∴
.
∴在Rt△ADE中,
,
∴
與平面
所成的角的大小
.
(3)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE
平面PAC,PE
平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP為二面角
的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴
.
∴在棱PC上存在一點E,使得AE⊥PC,這時
,
故存在點E使得二面角
是直二面角.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題12分)
如圖,三棱柱
ABC-
A1B1C1的
側(cè)棱與底面垂直,
AC=3,
BC=4,
AB=5,
AA1=4,點D是AB的中點.
(1)求證:
AC⊥
B1C;
(2)求證:
AC 1∥平面
CDB1.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,在邊長為
a的正方體
中,
M、
N、
P、
Q分別為
AD、
CD、
、 的中點.
(1)求點
P到平面
MNQ的距離;
(2)求直線
PN與平面
MPQ所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
在四棱錐
中,
,
,且DB平分
,E為PC的中點,
,
PD=3,(1)證明
(2)證明
(3)求四棱錐
的體積。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,AC=3,BC=4,
,AA
1=4,.點D是AB的中點.
(1)求證:AC⊥BC
1;
(2)求二面角
的平面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖所示,在棱長為2的正方體
中,
、
分別為
、
的中點. (1)求證: (1)、
//平面
;
(2)、求證:
;
(3)、求三棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)已知四面體
中,
,平面
平面
,
分別為棱
和
的中點。
(1)求證:
平面
;
(2)求證:
;
(3)若
內(nèi)的點
滿足
∥平面
,設(shè)點
構(gòu)成集合
,試描述點集
的位置(不必說明理由)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
.已知a、b、c、d是空間四條直線,如果
,那么
A.a(chǎn)//b且c//d | B.a(chǎn)、b、c、d中任意兩條可能都不平行 |
C.a(chǎn)//b或c//d | D.a(chǎn)、b、c、d中至多有一對直線互相平行 |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底
面ABCD,
∥
,AD=CD=1,∠
=120°,
=
,∠
=90°,M是線段PD上的一點(不包括端點).
(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)求異面直線AC與PD所成的角的余弦值;
(3)若點M為側(cè)棱PD中點,求直線MA與平面PCD
所成角的正弦值.
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