(2012•廣元三模)已知數(shù)列{an}的前三項(xiàng)與數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相同,且a1+2a2+22a3…+2n-1an=8n對(duì)任意的n∈N+都成立,數(shù)列{bn+1-bn}是等差數(shù)列.
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(III)問(wèn)是否存在k∈N*,使f(k)=bk-ak∈(0,1)?并說(shuō)明理由.
分析:(I)利用a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n推出n-1時(shí)的表達(dá)式,然后作差求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,
(II)利用數(shù)列{bn+1-bn}是等差數(shù)列利用累加法求出{bn}的通項(xiàng)公式;
(III)化簡(jiǎn)bk-ak=k2-7k+14-24-k,通過(guò)k≥4時(shí),f(k)=(k-
7
2
2+
7
4
-24-k單調(diào)遞增,且f(4)=1,所以k≥4時(shí),f(k)≥1,結(jié)合f(1)=f(2)=f(3)=0,說(shuō)明不存在k∈N*,使得bk-ak∈(0,1).
解答:解:(I)已知a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n(n∈N*)①
n≥2時(shí),a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=8(n-1)(n∈N*)②
①-②得2n-1an=8,解得an=24-n,在①中令n=1,可得a1=8=24-1
所以an=24-n(n∈N*)(4分)
(II)由題意b1=8,b2=4,b3=2,所以b2-b1=-4,b3-b2=-2,
∴數(shù)列{bn+1-bn}的公差為-2-(-4)=2,
∴bn+1-bn=-4+(n-1)×2=2n-6,
bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1
=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8)=n2-7n+14(n∈N*)、(8分)
(III)bk-ak=k2-7k+14-24-k,當(dāng)k≥4時(shí),f(k)=(k-
7
2
2+
7
4
-24-k單調(diào)遞增,
且f(4)=1,所以k≥4時(shí),f(k)=k2-7k+14-24-k≥1.
又f(1)=f(2)=f(3)=0,所以,不存在k∈N*,使得bk-ak∈(0,1).(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查等差關(guān)系的確定,等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,遞推關(guān)系式的應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
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(2012•廣元三模)在等差數(shù)列{an}中,a3+a8+a13=m,其前n項(xiàng)Sn=5m,則n=( 。

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(2012•廣元三模)在平面直角坐標(biāo)系中,橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn).若函y=f(x)的圖象恰好經(jīng)過(guò)k 個(gè)格點(diǎn),則稱函數(shù)y=f(x)為k階格點(diǎn)函數(shù).已知函數(shù):①y=2sinx;②y=cos(x+
π6
);③y=ex-1;④y=x2.其中為一階格點(diǎn)函數(shù)的序號(hào)為
①③
①③
(注:把你認(rèn)為正確論斷的序號(hào)都填上)

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(2012•廣元三模)在△ABC中,sinA=
5
13
,cosB=
3
5
,則cosC=( 。

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(2012•廣元三模)在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)中,某小組內(nèi)的甲、乙、丙三名選手進(jìn)行單循環(huán)賽(即每?jī)扇吮荣愐粓?chǎng))共賽三場(chǎng),每場(chǎng)比賽勝者得1分,輸者得0分,、沒(méi)有平局;在參與的每一場(chǎng)比賽中,甲勝乙的概率為
1
3
,甲勝丙的概率為
1
4
,乙勝丙的概率為
1
3

(I)求甲獲得小組第一且丙獲得小組第二的概率;
(II)設(shè)該小組比賽中甲的得分為ξ,求Eξ.

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(2012•廣元三模)直線y=x-4和雙曲線
x
2
 
9
-
y
2
 
3
=1
相交于A、B兩點(diǎn),則線段AB的長(zhǎng)度為( 。

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