Question

野營(yíng)活動(dòng)中，學(xué)生在平地上用三根斜桿搭建一個(gè)正三棱錐形的三腳支架P-ABC（如圖）進(jìn)行野炊訓(xùn)練，將炊事鍋看作一個(gè)點(diǎn)Q，用吊繩PQ將炊事鍋吊起燒水（鍋的大小忽略不計(jì)）．已知PC=130cm，A、B兩點(diǎn)間距離為50

3

cm．
（1）設(shè)PQ的延長(zhǎng)線與地面ABC的交點(diǎn)為O，求cos∠PCO的值；
（2）若使炊事鍋Q到各條斜桿的距離都等于30cm，試求吊繩PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P點(diǎn)在平面ABC上的射影為點(diǎn)O，連接CO，在Rt△POC中，求出∠PCO的余弦值即可；
（2）在Rt△POC中，求出PO，作QD⊥PC交PC于D點(diǎn)，求出QD，最后根據(jù)PQ=

QD

sin∠QPD

可求出所求．

解答：解：（1）設(shè)P點(diǎn)在平面ABC上的射影為點(diǎn)O，連接CO，CO=50，（3分）
在Rt△POC中，cos∠PCO=

5

13

．（5分）
即cos∠PCO的值為

5

13

．（6分）
（2）在Rt△POC中，解得PO=120，作QD⊥PC交PC于D點(diǎn)，
由QD=30，得PQ=

QD

sin∠QPD

=

30

5 13

=78．（12分）
故吊繩PQ的長(zhǎng)78cm．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面所成角，以及距離的計(jì)算，同時(shí)考查了空間想象能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．