Question

（2013•浙江模擬）設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F₁的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．若AB⊥AF₂，|AB|：|AF₂|=3：4，則橢圓的離心率為

5

3

．

Answer 1

分析：由AB⊥AF₂，|AB|：|AF₂|=3：4，利用橢圓的定義可求得|AF₁|=2，從而可得a的值，再由勾股定理可求得2c的值．

解答：解：∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓C

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F₁的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，AB⊥AF₂，|AB|：|AF₂|=3：4，如圖：
∴不妨令|AB|=3，|AF₂|=4，再令|AF₁|=x，由橢圓的定義得：|AF₁|+|AF₂|=2a，①|(zhì)BF₁|+|BF₂|=2a②
①+②得：x+4+3-x+5=4a，
∴a=3，x=2．
在Rt△F₁F₂A中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，
∴4c²=4+16=20，
∴c=

5

．
∴橢圓的離心率為e=

5

3

．
故答案為：

5

3

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，突出考查橢圓的定義的應(yīng)用，求得a與c的值是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與運(yùn)算的能力，屬于中檔題．