Question

【題目】已知橢圓的焦點坐標是，過點且垂直于長軸的直線交橢圓于兩點，且.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點的直線與橢圓交于不同的兩點，問三角形內切圓面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值及此時直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；；

【解析】

（1）由通徑長度可求得，再結合即可求解；

（2）設直線方程為，聯立直線和橢圓方程可得關于的一元二次方程，求解出韋達定理，又由幾何性質可得，，再由三角形的內切圓的面積公式，內切圓面積為，結合三個關系式可知，要使最大，即使最大，最終結合換元法和對勾函數可求最值；

設，代入標準方程可得，又，

故，又，求得，故橢圓的標準方程為：；

（2）由題可知要使三角形內切圓面積最大，即使內切圓半徑最大，而三角形面積的兩個等價公式有①，②，

其中，聯立兩式可得，設過的直線方程為，顯然直線斜率不為0，聯立

，則，

令，則，由對勾函數性質可知，當且僅當時，即時，取到最小值，又，時，單增，故，，，

此時，直線方程為：