Question

給出下列個命題：
①若函數(shù)f(x)=asin(2x+

π

3

+?)(x∈R）為偶函數(shù)，則?=kπ+

π

6

(k∈Z)
②已知ω＞0，函數(shù)f（x）=sin（ωx+

π

4

）在（

π

2

，π）上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是[

1

2

，

5

4

]
③函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象如圖所示，則f（x）的解析式為f(x)=sin(2x+

π

3

)；
④設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，若（a+b）c＜2ab；則C＞

π

2

⑤設(shè)ω＞0，函數(shù)y=sin(ωx+

π

3

)+2的圖象向右平移

4π

3

個單位后與原圖象重合，則ω的最小值是

3

2

．
其中正確的命題為

①②③⑤

．

Answer 1

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．①根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行判斷．②利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．③利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷．④根據(jù)正弦定理或余弦定理進(jìn)行判斷．⑤利用三角函數(shù)的圖象和三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答：解：①若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則

π

3

+?=

π

2

+kπ，即?=kπ+

π

6

(k∈Z)成立，∴①正確．
②∵

T

2

≥π-

π

2

=

π

2

，∴周期T≥π，即

2π

ω

≥π，∴0＜ω≤2．
當(dāng)

π

2

＜x＜π時，

π

2

ω+

π

4

＜ωx+

π

4

＜ωπ+

π

4

，即ωx+

π

4

∈[

π

2

ω+

π

4

，ωπ+

π

4

]⊆[

π

2

，

3π

2

]，
∴

π 2 ω+ π 4 ≥ π 2 ωπ+ π 4 ≤ 3π 2

，解得

1

2

≤ω≤

5

4

．∴②正確．
③由圖象可知A=1，

T

4

=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，即周期T=π=

2π

ω

，解得ω=2．
∴f（x）=sin（2x+?），
∵f(

7π

12

)=sin?(2×

7π

12

+?)=sin?(

7π

6

+?)=-1，∴

7π

6

+?=

3π

2

+kπ，
解得?=

3π

2

-

7π

6

+kπ=

π

3

+kπ，k∈Z．∴當(dāng)k=0時，?=

π

3

，∴f（x）的解析式為f(x)=sin(2x+

π

3

)，∴③正確．
④取a=b=2，c=1，滿足（a+b）c＜2ab得：C＜

π

3

＜

π

2

＜，故④錯誤；
⑤若函數(shù)y=sin(ωx+

π

3

)+2的圖象向右平移

4π

3

個單位后與原圖象重合，則nT=

4π

3

，即

2nπ

ω

=

4π

3

，
∴ω=

3nπ

2

，
∵ω＞0，∴當(dāng)n=1時，ω的最小值是

3

2

．∴⑤正確．
故答案為：①②③⑤．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．涉及的知識點(diǎn)較多．