精英家教網(wǎng)如圖,P-ABCD是正四棱錐,ABCD-A1B1C1D1是正方體,其中AB=2,PA=
6
.平面PAD與平面BDD1B1所成的銳二面角θ的余弦值為( 。
A、
10
10
B、
5
5
C、
15
5
D、
10
5
分析:由題設條件以及圖形知平面PAD與平面BDD1B1的公共邊為PD,平面PAD與平面BDD1B1所成的銳二面角即二面角A-PD-B,由圖形的結(jié)構(gòu),兩平面所成的二面角的余弦值可用三角形PAD的面積與其在面PBD上的投影面積之間的比值來表示,連接AC,BD交于一點O,可證得A0⊥面PBD,即三角形PAD在面PBD上的投影是三角形POD,求出兩個三角形的面積計算其比值即可得到所求二面角的余弦值.
解答:精英家教網(wǎng)解:由題意如圖,平面PAD與平面BDD1B1的公共邊為PD,平面PAD與平面BDD1B1所成的銳二面角即二面角A-PD-B,連接AC,BD交于一點O,由于P-ABCD是正四棱錐,故有AO⊥面PBD,
∴cosθ=
S△pOD
S△PAD

∵P-ABCD是正四棱錐,ABCD-A1B1C1D1是正方體,其中AB=2,PA=
6

∴BD=2
2
,故PO=
PD2-OD2
=
6-2
=2可求得三角形POD的面積是
1
2
×2×
2
=
2

在三角形PAD中可求得其面積是
5

故cosθ=
S△pOD
S△PAD
=
2
5
=
10
5

故選D
點評:本題考查二面角的平面角及求法,由于本題中幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征,采取了用投影面法求面面角的余弦,可以看到此法優(yōu)點是不用作二面角的平面角,少了證明的過程,在求二面角時注意使用這一方法,其公式是銳二面角的余弦值等于投影面的面積比上原面積.本題考查了轉(zhuǎn)化變形的能力以及推理運算的能力.
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6

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6
5
5
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3
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3
,AB=2.
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(2)求該四棱錐的體積.

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