Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+8x，g（x）=x-ln（x+1）
（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值h（t）；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，對(duì)任意的x∈[0，+∞），不等式g（x）≤8kx-kf（x）恒成立？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)軸之間的關(guān)系，即可求f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值h（t）；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16．
當(dāng)t+1＜4，即t＜3時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，h（t）=f（t+1）=-（t+1）²+8（t+1）=-t²+6t+7；
當(dāng)t≤4≤t+1，即3≤t≤4時(shí)，h（t）=f（4）=16；
當(dāng)t＞4時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，h（t）=f（t）=-t²+8t．
綜上，h（t）=

-t2+6t+7，t＜3 16，3≤t≤4 -t2+8t，t＞4

．
（Ⅱ）∵g（x）≤8kx-kf（x），
∴不等式等價(jià)為8kx-kf（x）-g（x）≤0，
設(shè)h（x）=8kx-kf（x）-g（x）=kx²-x+ln（x+1），x≥0
則h（x）≥0在x∈[0，+∞），上恒成立，?h（x）_min≥0，
h/(x)=2kx+

1

x+1

-1=

2kx2+2kx-x

x+1

，
①k≤0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在[0，+∞）上減函數(shù)，h（x）≤h（0）=0；
∴不等式g（x）≤8kx-kf（x）不恒成立；不合題意．
②當(dāng)0＜k＜

1

2

時(shí)，h/(x)=2kx+

1

x+1

-1=

2kx2+2kx-x

x+1

=

2kx(x- 1-2k 2k )

x+1

，
當(dāng)x∈(0，

1-2k

2k

)時(shí)，h′（x）＜0，存在x0∈(0，

1-2k

2k

)，使h（x₀）＜h（0）=0，
∴g（x₀）＞8kx₀-kf（x₀），
∴x∈[0，+∞）不等式g（x）≤8kx-kf（x）不恒成立，
③當(dāng)k≥

1

2

時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在x∈[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴h（x）≥h（0）=0；符合題意；
綜上：存在k∈[

1

2

，+∞)對(duì)任意的x∈[0，+∞），不等式g（x）≤8kx-kf（x）恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及不等式恒成立問(wèn)題，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．