Question

已知直線x+ky-3=0所經過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1．試證明：當點P（m，n）在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長L的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由x+ky-3=0得，（x-3）+ky=0，所以F為（3，0）．由題設知，由此可求出橢圓C的方程．
（2）因為點P（m，n）在橢圓C上運動，所以+=1．從而圓心O到直線l的距離d===＜1．由此可求出直線l被圓O截得的弦長的取值范圍．
解答：解：（1）由x+ky-3=0得，（x-3）+ky=0，
所以直線過定點（3，0），即F為（3，0）．
設橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），
則解得
故所求橢圓C的方程為+=1．

（2）因為點P（m，n）在橢圓C上運動，所以+=1．
從而圓心O到直線l的距離
d===＜1．
所以直線l與圓O恒相交．
又直線l被圓O截得的弦長
L=2=2=2，由于0≤m²≤25，
所以16≤m²+16≤25，則L∈[，]，
即直線l被圓O截得的弦長的取值范圍是[，]．
點評：本題考查直線和圓的綜合應用，解題時要認真審題，掌握橢圓方程的求解方法，注意弦長公式的合理運用．