Question

已知點(diǎn)，一動圓過點(diǎn)且與圓內(nèi)切．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任一點(diǎn)，求點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若，△的面積為（是坐標(biāo)原點(diǎn)，是曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)），以為邊長的正方形的面積為．若正數(shù)滿足，問是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則動圓的半徑為，

又動圓與內(nèi)切，所以有化簡得

所以動圓圓心軌跡C的方程為． ………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)，則

，令，，所以，

當(dāng)，即時(shí)在上是減函數(shù)，；

當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則；

當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，．

所以， ．…………………………………………9分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí),,于是,,

若正數(shù)滿足條件，則，即，

，令，設(shè)，則，，

于是，

所以，當(dāng)，即時(shí)，，

即，．所以，存在最小值．………………………………15分