Question

四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB=60°，側(cè)棱，，M、N兩點(diǎn)分別在側(cè)棱PB、PD上，.

(1)求證：PA⊥平面MNC。
(2)求平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值．

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景，考查線面垂直、二面角等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生用向量法解決立體幾何的能力，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，連結(jié)AC、BD交于O，則在三角形APC中可知，在三角形PBO中，利用三邊長(zhǎng)，可知，利用線面垂直的判定得平面ABCD，所以建立空間直角坐標(biāo)系，得到各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到和平面MNC的法向量的坐標(biāo)，可求出//，所以平面MNC；第二問(wèn)，利用平面NPC的法向量垂直于和得到法向量的坐標(biāo)，利用夾角公式得到夾角的余弦值.
試題解析：設(shè)菱形對(duì)角線交于點(diǎn)，易知且
又.由勾股定理知，
又
 平面                      3分
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，
，，
，                    5分

⑴顯然，，平面的法向量
，由∥，知平面            8分    
⑵設(shè)面的法向量為 由
取，得                             10分

所以平面與平面的夾角的余弦值為.    12分