Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y²＝4x的焦點(diǎn)F交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)．
(1) 若=8，求直線(xiàn)l的斜率
(2)若=m,=n.求證為定值

Answer 1

（1）k=1或-1（2）="1"

分析：
（1）求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)直線(xiàn)l方程為：y=k（x-1），代入y²=4x得[k（x-1）]²=4x，利用韋達(dá)定理及拋物線(xiàn)的定義，即可求直線(xiàn)l的斜率
（2）由（1）知，|AF|=m=x₁+1，|BF|=n=x₂+1，表示出1/m+1/n。利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論。
解答：
（1）解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為：x=-1
設(shè)直線(xiàn)l方程為：y=k（x-1），代入y²=4x得[k（x-1）]²=4x，即k²x²-（2k²+4）x+k²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2k²+4/ k²，x₁x₂=1
∵|AB|=8，∴x₁+x₂+2=8
∴2k²+4/ k²=6，∴k²=1
∴k=1或-1。
（2）證明：由（1）知，|AF|=m=x₁+1，|BF|=n=x₂+1。
∴1/m+1/n=（1/ x₁+1）+（1/ x₂+1）=（x₁+1+x₂+1）/[(x₁+1)(x₂+1)]= （x₁+x₂+2）/[(x₁+x₂)+x₁x₂+1]
∵x₁+x₂=2k²+4/ k²，x₁x₂=1
∴（x₁+x₂+2）/[(x₁+x₂)+x₁x₂+1]=1
∴1/m+1/n=1，為定值。
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)的弦，利用拋物線(xiàn)的定義，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵。