Question

使用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，用二分法求函數(shù)f(x)=x⁵-x³-5x²+5的無理零點(diǎn)（精確到0.01）.

Answer 1

解析:求函數(shù)的無理零點(diǎn)或求方程的無理根問題可以通過因式分解，發(fā)現(xiàn)其有理根，然后轉(zhuǎn)化為求另一函數(shù)的無理零點(diǎn)的問題，再利用二分法求其零點(diǎn)的近似值.

解：因?yàn)閤⁵-x³-5x²+5=x³(x²-1)-5(x²-1)=(x+1)(x-1)(x³-5)，

    所以已知函數(shù)的零點(diǎn)是-1，1，，其中x=是它的一個(gè)無理零點(diǎn).

    不妨設(shè)g(x)=x³-5，由于g(1)=-4＜0,g(2)=3＞0，可取區(qū)間［1,2］作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算，列表如下：

端點(diǎn)（中點(diǎn)）坐標(biāo)	計(jì)算中點(diǎn)的函數(shù)值	取區(qū)間
g（1）＜0	g（2）＞0	［1，2］
x1==1.5	g（x1）=-1.625＜0	［1.5，2］
x2==1.75	g（x2）=0.359 4＞0	［1.5，1.75］
x3==1.625	g（x3）=-0.709 0＜0	［1.625，1.75］
x4==1.687 5	g（x4）=-0.194 6＜0	［1.687 5，1.75］
x5==1.718 8	g（x5）=0.077 4＞0	［1.687 5，1.718 8］
x6==1.703 2	g（x6）=-0.059 6＜0	［1.703 2，1.718 8］
x7==1.711	g（x7）=0.010＞0	［1.703 2，1.711］
x8==1.714 9	g（x8）=0.043 3＞0

    由上表計(jì)算可知，區(qū)間［1.703 2，1.711］的長度小于0.01，所以該區(qū)間的中點(diǎn)x₈≈1.71，即為函數(shù)f（x）=x³-5的一個(gè)無理零點(diǎn)近似值.