如圖，四面體ABCD中，O．E分別為BD．BC的中點(diǎn)，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
2
．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值．
（1）證明：△ABD中
∵AB=AD=
2
，O是BD中點(diǎn)，BD=2
∴AO⊥BD且AO=
AB2-BO2
=1
△BCD中，連接OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD且CO=
BC2-BO2
=
3

△AOC中AO=1，CO=
3
，AC=2
∴AO2+CO2=AC2故AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD

（2）取AC中點(diǎn)F，連接OF．OE．EF
△ABC中E．F分別為BC．AC中點(diǎn)
∴EF∥AB，且EF=
1
2
AB=
2
2

△BCD中O．E分別為BD．BC中點(diǎn)
∴OE∥CD且OE=
1
2
CD=1
∴異面直線AB與CD所成角等于∠OEF（或其補(bǔ)角）
又OF是Rt△AOC斜邊上的中線∴OF=
1
2
AC=1
∴等腰△OEF中cos∠OEF=
1
2
EF
OE
=
2
4

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

如圖所示的正方體中，M、N是棱BC、CD的中點(diǎn)，則異面直線AD1與MN所成的角為（　�。┒龋�
A．30B．45C．60D．90

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，面對(duì)角線A1C1與體對(duì)角線B1D所成角等于______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1D中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)．
（1）求異面直線MN和AB所成的角；
（2）求點(diǎn)M到平面BB1D1D之距．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

如圖，正四面體A-BCD（空間四邊形的四條邊長(zhǎng)及兩對(duì)角線的長(zhǎng)都相等）中，E，F(xiàn)分別是棱AD，BC的中點(diǎn)，則EF和AC所成的角的大小是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=
2
BB1，則AB1與C1B所成的角的大小______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為面ADD1A1的中心，Q為DCC1D1的中心，則向量
PB
，
QA1
夾角的余弦值為（　�。�
A．
6
6
B．-
6
6
C．
1
6
D．-
1
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB和CD的中點(diǎn)，AD=BC=6，MN=3
2
，則AD和BC所成的角是（　　）
A．120°B．90°C．60°D．30°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)AB=2，側(cè)棱BB1的長(zhǎng)為4，過(guò)點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案