設A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點在拋物線y=2x2上,l是AB的垂直平分線.

(1)當且僅當x1+x2取何值時,直線l經(jīng)過拋物線的焦點F?證明你的結論.

(2)當直線l的斜率為2時,求l在y軸上的截距的取值范圍.

l在y軸上截距的取值范圍是(,+∞).


解析:

(1)F∈l|FA|=|FB|A、B兩點到拋物線準線的距離相等y1=y2x12=x22(x1+x2)

(x1-x2)=0,由A、B為兩點,∴x1≠x2x1+x2=0.

故x1+x2=0時,直線l經(jīng)過焦點F.

(2)設l:y=2x+b,

∵l⊥AB,

設AB：y=-x+m,聯(lián)立y=2x2,

∴2x2+x-m=0,

設AB中點N(x0,y0),

則

由點N∈l,∴+m=-+b,

b=+m>-=.

∴l(xiāng)在y軸上截距的取值范圍是(,+∞).

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